Dubbio su energia potenziale elettrica e lavoro

Ho iniziato a studiare l'elettromagnetismo e, anche se all'inizio mi sembrava filasse tutto liscio, con uno sguardo più attento mi sono resoconto che certe cose non mi quadravano.

Sono partito dalla formula del lavoro di una forza elettrica.



Con un po' di calcolo integrale sono poi giunto a



E fin qui tutto okay. Tuttavia mi sono visto piovere in classe questa formula per il potenziale elettrico



da cui però ho ricavato da solo



A questo punto mi sono chiesto come sia possibile che io abbia scritto il lavoro in due maniere differenti. La seconda formula per il lavoro non è forse sbagliata? Lo sto ricavando considerando la forza elettrica come costante per tutto lo spostamento, cosa non vera.

È dunque sbagliata anche la formula che lega differenza di potenziale e campo elettrico?

Cerco di fare un po' di chiarezza.
Premetto che non conosco i programmi del liceo scientifico. I miei studenti sono, di solito, universitari.
Hai calcolato bene il lavoro fatto dalla forza di Coulomb quando la distanza fra le due cariche q1 e q2 passa da r1 a r2. Se q1q2 > 0, il lavoro è positivo se le cariche si allontanano, negativo se si avvicinano.
Per quanto riguarda il potenziale, per definizione, il potenziale elettrostatico V(P) è l'energa potenziale che avrebbe la carica unitaria positiva se si trovasse in P senza che ciò alteri la distribuzione delle cariche.
Il suo legame con il campo E è più complicato di come te lo hanno detto. Le componenti del vettore E sono:
Ex = - ðV/ðx ; Ey = - ðV/ðy ; Ez = - ðV/ðz
Quindi la formula che ti hanno dato vale solo nel caso particolare che il campo E sia parallelo all'asse X.
Le formule che hai ricavato tu NON sono corrette.
Ti invito ad aspettare che il prof. spieghi l'argomento. Lui sa bene quali sono le vostre conoscenze sull'argomento.