Velocità di arrivo di una sfera

Qualcuno mi potrebbe spiegare come calcolare la velocità di arrivo di una sfera avendo i seguenti dati:

- velocità di partenza
- peso della sfera
- lunghezza del tragitto

Tutto questo va calcolato tenendo presente l'attrito dell'aria e la gravità (non come curvatura, ma solo come rallentamento provocato in una traiettoria a linea retta).

Grazie infinitamente!

Putroppo non ci sono dati. Occorre la velocità iniziale perché si possa dire che la resistenza dell'aria è di tipo viscoso. In caso affermativo la 2a di Newton, proiettata sulla verticale diretta verso il basso (sempre che la velocità Vo sia verticale e verso il basso) fornisce:
m g - b v = m a
da cui
a + b v/m = g
dove
b = 6 π η R
essendo η la viscosità dell'aria e R il raggio della sfera.
Posta l'origine nella posizione iniziale, ricordando che la massa
m = (4/3)π ρ R³
sostituendo
b/m = (9/2)(η/ρR²)
L'equazione mostra che a = 0 per
Vl = (2/9)(ρ/η)gR²
Questa è la velocità limite di caduta di una sfera nell'aria supponendo l'attrito viscoso.
Se la velocità iniziale Vo < Vl il moto è accelerato con accelerazione decrescente per poi diventare uniforme.
Se Vo = Vl il moto è rettilineo ed uniforme.
Se Vo > Vl il moto è ritardato per poi diventare uniforme.
Concludendo, se lo spazio a disposizione è sufficiente in modo da raggiungere la velocità Vl, questa è la velocità finale.

Grazie Luigi, sei un grande.
La velocità iniziale ce l'ho. Supponiamo che sia veramente una palla di calcio, che va calciata in linea retta (quindi orizzontalmente, non parlo di velocità di caduta, ma puro calcolo di attrito), con velocità iniziale di 160 km/h.
La palla ha un peso di 450 grammi.
Per sapere la velocità finale, supponendo sia sempre andata in linea retta, avendo l'aria una viscosità media, dopo 40 metri, quale sarà la velocità di arrivo?
magari così è più chiara...

Dalla equazione
a + (b/m) v = g (1)
ottieni, moltiplicando i due membri per "dt" e ricordando che a dt = dv e che v dt = dx
dv + (b/m)dx = g dt
da cui
v - vo + (b/m) x = g t
Per calcolare il tempo t necessario a percorrere la distanza "x" è necessario ripartire dalla equazione (1) e integrarla. Si tratta di una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti non omogenea. La sua soluzione (posto che rientri nel tuo programma) è:
v(t) = K exp(- b t/m) + (m/b)g
K è una costante che va determinata imponendo la condizione iniziale
v(0) = Vo
Si ottiene
Vo = K + mg/b
ed infine
K = Vo - mg/b = Vo - Vl
quindi
v(t) = Vo exp(- bt/m) + Vl (1 - exp[- bt/m)]
infine
da v = dx/dt
si ottiene
x = v(t) dt
Sostituisci a v(t) la sua espressione e integra.