Problema gravitazione universale

Salve, ho un problema di fisica sulla gravitazione universale che non so come risolvere. Frequento la 3 liceo scientifico,

1) Ai vertici di un triangolo equilibrio di lato sono poste 3 masse e nel terzo vertice una massa . Determina il rapporto in modo tale che una quarta massa posta nel baricentro sia in quiete.

2) Supponi ora di raddoppiare il valore di . Determina il valore della forza gravitazionale totale agente su e il lavoro della forza gravitazionale per costruire il sistema in questo secondo caso.


Il primo punto l'ho risolto scomponendo le forze in e e sommando, e il rapporto mi viene 8. È giusto?

Per il secondo ho sostituito ad a , ma non ne sono convinta.

Per il lavoro della forza gravitazionale non ho proprio idea.

Mi aiutate?
Grazie mille
Elena

Avresti dovuto scrivere il post in "Viva la Fisica".
Se lo riscrivi precisa:
1) il triangolo è equilatero;
2) la massa m4 è posta nel baricentro del triangolo.(intersezione delle tre mediane)
In questo caso, affinché m4 sia in equilibrio deve essere
M/m = 1
La forza risultante su m4 è nulla qualunque sia il valore di m4
Se la massa m4 va posta nel centro di massa del sistema la soluzione è differente.
Attendo una tua precisazione.

Ciao a tutti,

@Luigi: nel frattempo provvedo a spostare il topic

A livello concettuale mi è chiaro perché il rapporto è 1, ma non mi vengono i calcoli...
E quanto all'ultimo punto?

Ritengo che m4 vada posto nel baricentro del triangolo, ovvero nella intersezione delle tre mediane. In tal caso su m4 agiscono le forze:
F1 = G m1 m4/r²
diretta da m4 verso m1;
F2 = G m2 m4/r²
diretta da m4 verso m2;
F3 = G M m4/r²
diretta da m4 verso M dove
r = l/rad3
è la distanza di un vertice del triangolo dal baricentro.
Assumi l'asse X parallelo al lato cui appartengono m1 e m2 e l'asse Y ad esso perpendicolare e diretto verso il terzo vertice.
E' immediato verificare che, essendo m1 = m2 = m, le componenti X di F1 e F2 si annullano e che la componente Y della somma vettoriale di F1 e F2 vale:
Fy = - (2 G m m4/r²)•cos60° = - G m m4/r²
quindi la somma vettoriale delle tre forze vale:
G M m4/r² - G m m4/r²
Imponendo che tale somma sia nulla, fatte le opportune semplificazioni, si perviene a
M = m
da cui
M/m = 1
Poiché la massa m4 è stata semplificata, se si sostituisce con 2m4 il rapporto rimane sempre 1.
Per il calcolo del lavoro, dovresti sapere (sempre che rientri nel tuo programma) che l'energia potenziale del sistema di due masse m1 e m2 separate dalla distanza "d" vale:
U = - G m1 m2/d
quindi se devi calcolare l'energia potenziale del sistema costuito dalle tre masse "m" poste sui vertici del triangolo equilatero di lato "l" e dalla massa m4 posta nel baricentro G, allora devi utilizzare la formula precedente per le 6 coppie di masse. Si ha:
U = - 3•G m²/l - 3•G m m4/r
Il lavoro W compiuto dalle forze gravitazionali è:
W = - U = 3 G m(m/l + m4/r)

Dunque per la forza di m1 su m4, così come per quella di m2 su m4, devo prendere come distanza r=l/rad 3 e non la distanza puramente orizzontale cioè l/2?

Infatti, secondo la legge di gravitazione la forza con cui si attirano due masse è inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.