Dilatazione volume cubo

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Dilatazione volume cubo #6242

avt
claudio
Cerchio
Vorrei soddisfare una curiosità sulla dilatazione volumica di un cubo. Più precisamente vorrei calcolare la differenza tra il volume di un cubo di lato x_0 e quello del cubo di lato x_0+\Delta x.

Si consideri un cubo di lato x_0>0. A seguito di un fenomeno fisico, il lato subisce una dilatazione lineare \Delta x>0.

Calcolare la dilatazione volumica \Delta V a cui il cubo è soggetto.

Grazie.
 
 

Re: Dilatazione volume cubo #6371

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo un cubo con spigolo x_0>0: il suo volume V_0 è dato dalla formula

V_0=x_0^{3}

A seguito di un fenomeno fisico, quale potrebbe essere la dilatazione termica, lo spigolo aumenta la propria lunghezza e passa da x_0 a x_0+\Delta x, con \Delta x>0.

Il nostro obiettivo consiste nel calcolare la variazione di volume \Delta V definita come la differenza tra il volume V del cubo dilatato e quello del cubo iniziale.

\Delta V=V-V_0

Calcoliamo il volume del cubo dilatato

V=(x_0+\Delta x)^3=

che, sviluppato il cubo di binomio, diventa

=x_0^3+3x_0^2\cdot\Delta x+3x_0\cdot(\Delta x)^2+(\Delta x)^3

pertanto

\\ \Delta V=V-V_0=\\ \\ =\left[x_0^3+3x_0^2\cdot\Delta x+3x_0\cdot(\Delta x)^2+(\Delta x)^3\right]-x_0^3= \\ \\ = 3x_0^2\cdot\Delta x+3x_0\cdot (\Delta x)^2+(\Delta x)^3

Se la variazione \Delta x è sufficientemente vicina allo zero, gli ordini di grandezza dei termini (\Delta x)^2\ \mbox{e} \ (\Delta x)^3 sono più piccoli rispetto a quello di \Delta x, pertanto possono essere trascurati, e ciò giustifica la seguente approssimazione:

\Delta V\simeq 3x_0^2\cdot\Delta x\ \ \ \mbox{se} \ \Delta x<<1


Dilatazione volumica con Taylor

Attenzione: il prosieguo della risposta è rivolto agli studenti universitari, o più in generale, a coloro che conoscono gli sviluppi di Taylor.

Un altro modo di vedere la faccenda prevede di ricorrere agli sviluppi di Taylor.

La funzione da sviluppare è quella che associa alla lunghezza dello spigolo x>0, il volume del cubo:

V(x)=x^3

mentre centro dello sviluppo è x_0, vale a dire la lunghezza dello spigolo prima della dilatazione.

Obbiettivo: calcolare lo sviluppo di Taylor della funzione V(x) nell'intorno del punto x_0.

Tutte le ipotesi richieste da Taylor sono chiaramente soddisfatte, dopotutto V(x) è una funzione polinomiale e un quanto tale è una funzione derivabile infinite volte.

Riportiamo la formula di Taylor

\\ V(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}{\frac{V^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}= \\ \\ \\ =V(x_0)+V'(x_0)(x-x_0)+\frac{V''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\frac{V'''(x_0)}{6}(x-x_0)^{3}+...

dove n! è il fattoriale del numero naturale n e V^{(n)}(x_0) indica la derivata n-esima di V(x) valutata in x_0.

Calcoliamo le derivate successive di V(x)=x^3 e valutiamole in x_0:

\begin{array}{lll}V(x)=x^3 & \to & V(x_0)=x_0^3 \\ \\ V'(x)=3x^2&\to&V'(x_0)=3x_0^2\\ \\ V''(x)=6x&\to &V''(x_0)=6x_0\\ \\ V'''(x)=6& \to & V'''(x_0)=6\\ \\ V^{(n)}(x)=0&\to&V^{(n)}(x_0)=0 \ \ \ \forall n>3

Osserviamo che le derivate di ordine superiore al terzo sono identicamente nulle!

La formula di Taylor associata alla funzione V(x) e centrata in x_0 diventa quindi

V(x)=V(x_0)+V'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}V''(x_0)(x-x_0)^2+\frac{1}{6}V'''(x_0)(x-x_0)^3

ossia

\\ V(x)=x_0^3+3x_0^2 (x-x_0)+\frac{1}{2}\cdot 6x_0\cdot (x-x_0)^2+\frac{1}{6}\cdot 6\cdot (x-x_0)^3= \\ \\ =x_0^3+3x_0^2(x-x_0)+3x_0(x-x_0)^2+(x-x_0)^3

Poniamo a questo punto

\Delta x=x-x_0 \ \ \ \to \ \ \ x=x_0+\Delta x

cosicché V(x) diventi

V(x_0+\Delta x)=x_0^3+3x_0^2\cdot\Delta x+3x_0\cdot(\Delta x)^2+(\Delta x)^3

da cui, trasportando x_0^3 al primo membro e osservando che è esattamente V(x_0), otteniamo:

V(x_0+\Delta x)-V(x_0)=3x_0^2\cdot\Delta x+3x_0\cdot(\Delta x)^2+(\Delta x)^3

Per \Delta x che tende a zero, possiamo arrestare lo sviluppo al primo ordine non nullo e aggiungere il resto nella forma di Peano: otteniamo così l'uguaglianza

V(x_0+\Delta x)-V(x_0)=3x_0^2\cdot\Delta x+o(\Delta x)\ \ \ \mbox{per} \ \Delta x\to 0

dalla quale si ricava la seguente approssimazione

V(x_0+\Delta x)-V(x_0)\simeq 3x_0^{2}\cdot\Delta x \ \ \ \mbox{con} \ \Delta x<<1

valida a patto che la variazione \Delta x sia prossima allo zero.

È tutto!
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit
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Os