Il teorema di Gauss non dipende dalla superficie

Buonasera, Giovedì voglio farmi interrogare in fisica e sto cercando di "prevedere" tutte le domande che la professoressa potrebbe farmi. Studiando il teorema di gauss mi è venuta la seguente domanda: "perché il teorema di Gauss non dipende dalla superficie?"

Ho cercato su google, senza trovare ottimi risultati; mi sono letto tutta la parte del libro riguardante questo argomento, senza ottenere le informazioni che speravo.
Spero che qualche utente di questo favoloso forum mi sappia dare una risposta.

Buona serata a tutti.

Il teorema di Gauss afferma che: "il flusso del campo E, uscente da una superficie chiusa, è pari alla somma algebrica delle cariche contenute all'interno divisa per εo".
E' una conseguenza della legge di Coulomb e, precisamente, del fatto che il campo E di una carica puntiforme è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla carica che lo genera.
Dubito che tu abbia in programma la dimostrazione formale, dato che non conosco la classe che frequenti. Inoltre non sono esperto nei programmi delle superiori.

Prima di tutto frequento il 5° liceo scientifico (se può essere d'aiuto per inquadrare meglio l'argomento).
Non so cosa intendi per "dimostrazione formale" ma in classe abbiamo fatto la dimostrazione del teorema in un caso generico dove la superficie in cui è posta la carica è una sfera(questo lo so dimostrare tranquillamente).
Durante la spiegazione, se non ricordo male, la professoressa si è limitata a dire che il teorema non dipende dalla superficie e, come ho già scritto nel post precedente, vorrei conoscere il perché di questa affermazione.

La dimostrazione del teorema di Gauss, in generale, è:
sia q la carica che genera il campo e S una generica superficie. Considera un elemento dS di tale superficie e calcola il flusso elementare del campo E , generato dalla carica q, attraverso dS. Per definizione:
dΦ(E) = E(P)•n dS = |q/4πεor²| dS cosθ
dove P è un punto di dS, e θ à l'angolo fra il campo e il versore n della normale a dS. (Non riesco a mettere la freccia per indicare i vettori. Spero che ciò non ti crei difficoltà)
Ma
dS cosθ = dS'
sezione retta del cono elementare avente vertice in q e che sottende dS. E, ricordando la definizione di "angolo solido",
dS' = r² dΩ
quindi, sostituendo,
dΦ(E) = |q/4πεor²| r² dΩ = ± |q/4πεo| dΩ
con la precisazione: si sceglie + se θ è acuto, - se θ è ottuso.
Come si vede, il flusso elementare NON dipende dal particolare elemento di superficie attraverso cui si calcola, me dipende solo dall'angolo solido dΩ.
Ciò, se q è interna a S, autorizza a sostituire la superficie S con una sfera avente centro in q, e integrando, su tutto lo spazio
Φ(E) = q/εo
e il flusso uscente ha il segno della carica q.
Concludendo, il nocciolo della dimostrazione sta nella legge di Coulomb, secondo cui il campo è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla carica che lo genera.
Solo in questo caso r² si semplifica.
Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti, chiedi pure.