Dubbio sul lavoro e quantità di moto

Buonasera a tutti, nello studio del lavoro meccanico mi è sorto un dubbio e non riesco a capire cosa sbaglio nel ragionamento.

Il lavoro è L=F*s.

Se io considero due casi:

1) punto materiale fermo a cui applico una forza (l'unica a cui e soggetto il corpo) per un certo spostamento del punto di applicazione calcolo il lavoro e ottengo appunto L=F*s. Questa forza comporterà un'accelerazione del corpo che mi farà variare la velocità, inoltre so che L=ΔE_c

2) punto materiale con una certa velocità iniziale, la forza F di modulo pari alla precedente è concorde al moto e se considero il lavoro svolto da questa nel medesimo spazio ottengo lo stesso lavoro. Infatti la velocità iniziale non è nulla e quella finale è maggiore così che la differenza tra i due valori di 1/2 at^2 è uguale al caso 1.

Ora se considero il teorema dell'impulso so che F*Δt=ΔQ, e senza farne un'analsisi quantitativa ma solo qualitativa noto che il tempo per percorrere il medesimo spazio nel caso 1) è maggiore del caso 2). Però dato che ho applicato la stessa forza avrò

1) Nel primo caso .

2) Nel secondo .

Essendo , come si era detto, otterrò (essendo la massa costante) un però questo è in contraddizione con il ΔE_c perché nei due casi ottenevo il medesimo valore, quindi risultava che la velocità era la medesima.

Perché ottengo questa incongruenza sul valore delle velocità vista nei due modi descritti?

Mi aiutate a capire cosa sbaglio?

Se fai attentamente i calcoli, vedrai che non c'è alcuna contraddizione fra il teorema dell'impulso e quello del lavoro.
Infatti con partenza da fermo hai:
F*s = (1/2) m v²
da cui
v = radice{2Fs/m)
Se la velocità iniziale è vo > 0, allora
F*s = (1/2)m(v² - vo²)
da cui
v = radice{vo² + 2Fs/m}
Il tempo impiegato nel primo caso per percorrere la distanza s è
t1 = radice(2sm/F)
mentre quello impiegato per percorrere la stessa distanza nel secondo caso è:
t2 = (m/F)*(- vo + radice{vo² + 2Fs/m}) = (m/F)(v - vo)
Calcola ora l'impulso della forza nei due casi:
(1°) F*t1 = radice(2 s m F) = m*radice(2Fs/m) = m v
(2°) F*t2 = m (v - vo)
quindi, pur essendo diversi i tempi, sono uguali le variazioni della quantità di moto.

Non mi ritrovo molto con la risposta, perché ho due problemi:

1) di livello intuitivo, nel senso che, se io calcolo l'impulso del primo esempio e ho una F*t1 mi darà un valore, adesso se io moltiplico la stessa F per un t2 diverso non dovrei ottenere evidentemente un valore differente?

2) Non mi ritrovo moto con i calcoli infatti t1 a me risulterebbe radice{ms/2F} e anche nel caclolo di t2 e dell'impulso trovo valori differenti .

Ringrazio ancora per l'aiuto

forse ho trovato l'inghippo, nel punto 2 scrivi:


per cui mi sembra di capire che pensi che la variazione di velocità dovrebbe essere la stessa in entrambi i casi.

in effetti non è cosi, quello che non cambia nei due casi è la variazione di energia cinetica () ma la variazione di velocità è diversa, come appunto ti risulta.

infatti l'energia cinetica è definita cosi:


varia quindi con il quadrato della velocità, per cui la stessa variazione di velocità è diversa a seconda della velocita iniziale.

credo si capisca meglio con un grafico: