Potenziale di una sfera conduttrice cava, esercizio

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Potenziale di una sfera conduttrice cava, esercizio #47109

avt
JohnnyR
Cerchio
Ciao a tutti:) gentilmente potreste aiutarmi a risolvere due punti di questo problema su una sfera conduttrice cava, di cui in particolare devo determinare l'andamento del potenziale?

Una sfera conduttrice cava, come nella figura sotto, è posta nel vuoto, ha raggio interno r1=4,0 cm e possiede una carica di 7,7 nC. Il potenziale della sfera, con la convenzione che sia zero all'infinito, è 1,2 x 10^3 V. Il punto P dista 15cm dal centro della sfera.

1) Trova il valore del raggio esterno r2 della sfera
2) Calcola il valore del potenziale nel punto P
3) Calcola il valore del potenziale nel punto T sulla superficie interna
4) Calcola il valore del potenziale nel centro O
5) Realizza il grafico in scala che mostra l'andamento del potenziale elettrico in un punto P in funzione della distanza r di P da O.

A me mancano da fare il punto 1 ed il 5. Grazie!

20130205_175027
Ringraziano: Gear II
 
 

Re: Potenziale di una sfera conduttrice cava, esercizio #47180

avt
Luigi76
Le Roi
Se utilizzi il teorema di Gauss (mi auguro che rientri nel tuo programma) troverai che il campo E generato dalla sfera all'esterno è:
E(r) = Q/(4πεor²) per r > R2
Ne discende che il potenziale è:
V(r) = Q/(4πεor) sempre per r > R2
essendo r la distanza dal centro O.
Quindi, per r = R2
V(R2) = Q/(4πεoR2)
da questa relazione si ottiene:
R2 = Q/(4πεo V) = 7,7*10^-9 * 9*10^9/1,2*10^3 = 0,06 m = 6 cm circa

Non posso fare il grafico. Posso solo dirti che da r = 0 fino a r = R2 il potenziale è costante e vale 1200 V; per r > R2 è un ramo di iperbole equilatera.
Ringraziano: Pi Greco, JohnnyR, CarFaby

Re: Potenziale di una sfera conduttrice cava, esercizio #47181

avt
frank094
Maestro
Ciao JohnnyR,

ci troviamo di fronte ad una sfera conduttrice ( non importa che sia cava ) la cui carica si distribuisce dunque sulla superficie più esterna!

Il testo del problema ci dice inoltre che un punto sulla superficie più esterna ( quindi distante r_2 dal centro ) si trova ad un potenziale pari a \Delta V.
Sappiamo inoltre che il campo elettrico sulla superficie esterna assume lo stesso valore in ogni punto in quanto funzione del raggio; questo vuol dire che

\Delta V = E \cdot r_2

Il campo elettrico di una sfera conduttrice sulla superficie esterna è ovviamente pari a quella data da tutta la carica come se si trovasse al centro di questa:

\Delta V = \frac{kq}{r_2^2} \cdot r_2 \implies r_2 = \frac{kq}{\Delta V} \approx 5.8 \; \text{cm}

E questo è il primo punto! Ora vediamo come risolvere l'ultimo. Poiché ci troviamo in una situazione di equilibrio elettrostatico, possiamo facilmente trovare le relazioni che legano il campo elettrico con il potenziale elettrico; è conveniente dividere lo studio in 3 fasi:

1. Consideriamo un punto P che è vincolato a muoversi unicamente tra il centro e la superficie di raggio r_1 - \delta x ( ovvero un valore leggermente più piccolo ).
In questo caso il campo elettrico, per il Teorema di Gauss, è nullo e sapendo che

\mathbf{E} = - \frac{d\mathbf{V}}{d\mathbf{s}}

allora il potenziale V deve necessariamente restare costante rispetto allo spazio.
Poiché hai già trovato che in O il potenziale è nullo, allora lo sarà fino a r_1 escluso!

2. Consideriamo ora il punto P come vincolato a muoversi tra la superficie di raggio r_1 e quella di raggio r_2 ( esclusa, ovviamente ).
In questo caso il Teorema di Gauss ci assicura nuovamente che il campo elettrico è nullo in ogni punto. Questo vuol dire che nuovamente il potenziale resta costante a V_0 = 1.2 \cdot 10^3 \; \text{V} dalla superficie interna fino a quella esterna!

3. Consideriamo ora il punto P come vincolato a muoversi tra la superficie esterna di raggio r_2 e infinito.
In questo caso il campo elettrico non è nullo e vale

E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_t}{r^2}

dove r indica la distanza del punto P dal centro O. In questo caso, sapendo che

\mathbf{E} = - \frac{d\mathbf{V}}{d\mathbf{s}}

si ha

\mathbf{V} = - \int \mathbf{E} \; d\mathbf{s}

da cui si ottiene

V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_t}{r}

pertanto il potenziale diminuisce come \frac{1}{r} fino all'infinito partendo dal valore iniziale - quando r = r_2 - pari a V_0! Il grafico sarà perciò composto di due tratti costanti e un tratto in cui il potenziale scende come uno sulla distanza!

E' tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, JohnnyR, CarFaby, JJordan
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Os