Angolo tra due vettori a partire dalle componenti

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Angolo tra due vettori a partire dalle componenti #45347

avt
Franz12
Punto
Mi spieghereste come posso risolvere questo problema sul calcolo dell'angolo tra due vettori? Ho molte difficoltà in merito.

Un vettore \mathbf{a} di modulo 13 ha componente uguale a 9 lungo la direzione di un secondo vettore \mathbf{b}.

Quanto vale l'angolo tra i vettori \mathbf{a}\ \mbox{e}\ \mathbf{b}?

Grazie.
 
 

Re: Angolo tra due vettori a partire dalle componenti #45376

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere il problema è sufficiente rifarsi alla definizione di angolo tra due vettori e più precisamente all'interpretazione geometrica di prodotto scalare euclideo, in base alla quale:

la proiezione ortogonale di un vettore \mathbf{a} su un vettore \mathbf{b} ha lunghezza pari al prodotto tra la norma di \mathbf{a} per il coseno dell'angolo convesso compreso tra \mathbf{a}\ \mbox{e}\ \mathbf{b}. In formule

a_{b}=||\mathbf{a}||\cos(\theta) \ \ \ \mbox{con}\ \theta\in [0,\pi]

Dopo questa premessa squisitamente teorica, possiamo dedicarci al problema, il quale fornisce le seguenti informazioni:

- la norma del vettore \mathbf{a}: ||\mathbf{a}||=13;

- la lunghezza della proiezione di \mathbf{a} su \mathbf{b}

a_{b}=9

Usiamo la formula

a_{b}=||\mathbf{a}||\cos(\theta) \ \ \ \mbox{con}\ \theta\in [0,\pi]

e rimpiazziamo i valori così da ricavare un'equazione goniometrica in coseno nell'incognita \theta:

9=13\cos(\theta) \ \ \ \to \ \ \ \cos(\theta)=\frac{9}{13}

Purtroppo \frac{9}{13} non è un valore noto del coseno, ecco perché siamo costretti a usare l'arcocoseno:

\theta=\arccos\left(\frac{9}{13}\right)\simeq 0,806^{\mbox{rad}}

Il risultato ottenuto è l'ampiezza dell'angolo richiesta ed è espressa in radianti. Nel caso in cui volessimo esprimerlo in gradi, basta usare la proporzione

\alpha^{\mbox{rad}}:\alpha^{\circ}=\pi^{\mbox{rad}}:180^{\circ}

da cui

0,806^{\mbox{rad}}:\alpha^{\circ}=\pi^{\mbox{rad}}:180^{\circ}

Usando la proprietà fondamentale delle proporzioni, ricaviamo immediatamente la misura in gradi

\alpha^{\circ}=\frac{0,806^{\mbox{rad}}\cdot 180^{\circ}}{\pi^{\mbox{rad}}}\simeq 46^{\circ}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
  • Pagina:
  • 1
Os