Angolo tra due vettori a partire dalle componenti

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Angolo tra due vettori a partire dalle componenti #45347

Franz12 Punto	Mi spieghereste come posso risolvere questo problema sul calcolo dell'angolo tra due vettori? Ho molte difficoltà in merito. Un vettore $\mathbf{a}$ di modulo ha componente uguale a lungo la direzione di un secondo vettore $\mathbf{b}$ . Quanto vale l'angolo tra i vettori $\mathbf{a}\ \mbox{e}\ \mathbf{b}$ ? Grazie.

Re: Angolo tra due vettori a partire dalle componenti #45376

Ifrit

Amministratore

Per risolvere il problema è sufficiente rifarsi alla definizione di angolo tra due vettori e più precisamente all'interpretazione geometrica di prodotto scalare euclideo, in base alla quale:

la proiezione ortogonale di un vettore $\mathbf{a}$ su un vettore $\mathbf{b}$ ha lunghezza pari al prodotto tra la norma di $\mathbf{a}$ per il coseno dell'angolo convesso compreso tra $\mathbf{a}\ \mbox{e}\ \mathbf{b}$ . In formule

$a_{b}=||\mathbf{a}||\cos(\theta) \ \ \ \mbox{con}\ \theta\in [0,\pi]$

Dopo questa premessa squisitamente teorica, possiamo dedicarci al problema, il quale fornisce le seguenti informazioni:

- la norma del vettore $\mathbf{a}$ : $||\mathbf{a}||=13$ ;

- la lunghezza della proiezione di $\mathbf{a}$ su $\mathbf{b}$

$a_{b}=9$

Usiamo la formula

$a_{b}=||\mathbf{a}||\cos(\theta) \ \ \ \mbox{con}\ \theta\in [0,\pi]$

e rimpiazziamo i valori così da ricavare un'equazione goniometrica in coseno nell'incognita $\theta$ :

$9=13\cos(\theta) \ \ \ \to \ \ \ \cos(\theta)=\frac{9}{13}$

Purtroppo $\frac{9}{13}$ non è un valore noto del coseno, ecco perché siamo costretti a usare l'arcocoseno:

$\theta=\arccos\left(\frac{9}{13}\right)\simeq 0,806^{\mbox{rad}}$

Il risultato ottenuto è l'ampiezza dell'angolo richiesta ed è espressa in radianti. Nel caso in cui volessimo esprimerlo in gradi, basta usare la proporzione

$\alpha^{\mbox{rad}}:\alpha^{\circ}=\pi^{\mbox{rad}}:180^{\circ}$

da cui

$0,806^{\mbox{rad}}:\alpha^{\circ}=\pi^{\mbox{rad}}:180^{\circ}$

Usando la proprietà fondamentale delle proporzioni, ricaviamo immediatamente la misura in gradi

$\alpha^{\circ}=\frac{0,806^{\mbox{rad}}\cdot 180^{\circ}}{\pi^{\mbox{rad}}}\simeq 46^{\circ}$

Abbiamo finito.

Ringraziano: Omega, Pi Greco

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