Tensione di una fune che si spezza, angolo e velocità

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Tensione di una fune che si spezza, angolo e velocità #42380

avt
peaceandlove
Cerchio
Ciao ragazzi vorrei chiedervi la cortesia di verificare se ho svolto correttamente il seguente esercizio sulla tensione di una fune.

Il problema è:

un bambino si dondola appeso ad una fune lunga 4 m che si spezza quando la tensione diventa il doppio del peso del bambino.
a) Qual'è il massimo angolo che la corda può formare con la verticale, durante l' oscillazione, senza spezzarsi?
b) Qual'è la velocità del bambino quando la corda si spezza, una volta superato l' angolo trovato in a?

 T1 = mgcos(a) + mv^2/l (tensione della corda che varia con l'angolo a)
 T2 = 2mgcos(a) ( doppio peso del bambino che varia con l'angolo a )

Quindi uguagliando:

 mgcos(a) + mv^2/l = 2mgcos(a)

 v = \sqrt{gcos(a)l} (velocità massima per la rottura)

Uguagliando l'energia cinetica e potenziale:

 mgh = mv^2/2

Dove h è l' altezza rispetto alla posizione di partenza:

 h = l(1 - cos(a))

 v = \sqrt{2g[l(1 - cos(a)]} (velocità acquistata in base all' angolo)

L'angolo e la velocità acquistata per la rottura le ottengo confrontando le due velocità:

 2g[l(1-cos(a)] = gcos(a)l

 2(1-cos(a) = cos(a)

 cos(a) = 2/3

Quindi ottengo:

 a = 48.2°

 v = \sqrt{[(9.8)(2/3)(4)]] = 5.11 m/s

Ho preferito postare il mio ragionamento per capire i miei errori.

Grazie in anticipo.
 
 

Tensione di una fune che si spezza, angolo e velocità #42390

avt
Luigi76
Le Roi
Hai commesso degli errori.
Devi calcolare la velocità nel punto più basso (dove la tensione della corda è massima) in funzione di α. (Lo hai fatto correttamente).
Si trova
v²/L = 2g(1 - cosα)
Ora, sempre nel punto più basso, scrivi la 2a di Newton e proiettala sulla verticale verso l'alto che, in tale punto, è anche la normale centripeta. Si ha:
T - m g = m v²/L
ed infine
T = m g (3 - 2 cosα)
Imponi ora che sia
T = 2 m g
e avrai
cosα = 1/2
α = 60°
Quindi
v = radice(gL)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, peaceandlove

Tensione di una fune che si spezza, angolo e velocità #42406

avt
peaceandlove
Cerchio
Grazie mille per la risposta.
Ho delle difficoltà nel capire l'esercizio.
Io ho capito dal testo che la corda si spezza oltrepassato un certo angolo formato con la verticale. Quindi mi viene da pensare che la tensione massima della fune non sia nella posizione verticale ma in corrispondenza di quell'angolo. Tuttavia non capisco come può essere vero dato che la velocità massima è raggiunta certamente nel punto più basso(fune verticale) e la tensione dipende dalla forza centripeta(quindi dalla velocità) ed in più l'angolo in cui il peso del bambino grava maggiormente è proprio 0° ovvero la posizione verticale. Se sai chiarire i miei dubbi ti ringrazio.

Tensione di una fune che si spezza, angolo e velocità #42408

avt
Luigi76
Le Roi
La Tensione della fune, nel punto più basso, vale
T = m g + m v²/L
ma la velocità con cui il corpo transita per il punto più basso, dipende dalle condizioni iniziali del moto.
Se il corpo è lasciato con velocità nulla quando il filo forma l'angolo α con la verticale, allora dalla conservazione dell'energia, si trae:
v²/L = 2 g(1 - cosα)
Quindi
T = m g(3 - 2 cosα)
Imponi che sia T = 2 m g
e, semplificato il peso m g,
3 - 2 cosα = 2
da cui
cosα = 1/2
Concludendo α = 60° è il massimo valore dell'ampiezza angolare delle oscillazioni per il quale la corda NON si spezza.
Infine, all'inizio, essendo v = 0, la tensione della corda vale:
T = m g cosα < m g
e la corda sicuramente non si spezza.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, peaceandlove
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Os