L'energia cinetica è una grandezza scalare o vettoriale?

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L'energia cinetica è una grandezza scalare o vettoriale? #22027

avt
cicchibio
Cerchio
Ciao ragazzi emt su internet ho letto che l'energia cinetica è una grandezza scalare, e penso sia vero. Ma sorge in me il seguente dubbio...

Se ad un corpo su un tavolo orizzontale viene impressa una certa energia il corpo prosegue lungo il tavolo e poi arrivato all' orlo cade a terra.
In base all'altezza del tavolo arriverà a terra con maggiore energia.

Quindi dovrebbe essere corretto sommare l'energia cinetica con cui arriva all' orlo del tavolo con l'energia potenziale acquisita.

In sostanza l'energia con cui arriva a terra dovrebbe essere:

 E = mv^2/2 + mgh

Dove v è la velocità con cui arriva all' orlo e h l'altezza del tavolo.

Ma la domanda sorge spontanea, se l'energia fosse impressa verticalmente al corpo cioè dall' alto verso il basso, il corpo arriverebbe a terra con la stessa energia di prima?

Cioè sia che alla palla l'energia sia impressa orizzontalmente che
verticalmente il risultato sarebbe lo stesso?
A vista d' occhio sembra che non sia cosi ma a fare due conti cado in questo dilemma.

Voi che dite? Una vostra dimostrazione?

Grazie mille per le risposte. emt
 
 

Re: L'energia cinetica è una grandezza scalare o vettoriale? #22107

avt
frank094
Sfera
Ciao Cicchibio, posso assicurarti che il lavoro ( non parliamo necessariamente di energia cinetica, generalizziamo ) è una grandezza scalare; ma andiamo a vedere perché emt.

Prima di passare all'esempio da te proposto è necessario passare per la definizione di lavoro ( elementare, cioé per piccoli spostamenti ).

Definizione. Sia \vec{F} una forza applicata ad un punto materiale e sia \Delta \vec{s} lo spostamento compiuto; si ha allora che il lavoro compiuto dalla forza è

\Delta L = \vec{F} \cdot \Delta \vec{s}

Si tratta di un prodotto scalare il cui risultato è, ovviamente, una grandezza scalare e di conseguenza non si può parlare di una natura vettoriale dell'energia cinetica in quanto sarebbe in contrasto con la definizione.

Adesso passiamo al problema che hai esposto. Ovviamente, nel caso della successione orizzontale -> verticale si configura un moto parabolico orizzontale e, come hai fatto giustamente notare, l'energia finale sarà pari a

E = \frac{1}{2}mv_x^2 + mgh

nell'ipotesi che arrivato al bordo del tavolo, il corpo non subisca più la spinta di alcuna forza lungo x.

Adesso, se lo stesso corpo non viene spinto orizzontalmente ma verticalmente possiamo semplicemente immaginare che esso cada da una altezza h' in modo da raggiungere l'altezza h con la velocità v_x; in tal caso si avrà

E = mgh' = mg(h + \Delta h)

Ma sappiamo anche che la prima parte di energia potenziale si converte nella cinetica in modo che il corpo raggiunga la velocità prestabilità pertanto si ha che

E = mgh' = mgh + \frac{1}{2}mv_x^2

Se invece non ho ben capito l'esempio da te proposto, dimmi pure emt .. per il resto, è tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, xavier310, cicchibio

Re: L'energia cinetica è una grandezza scalare o vettoriale? #22125

avt
Ispirato
Visitatore
Ciao emt

Ti dico subito che, per il principio di conservazione dell'energia meccanica, nelle due situazioni da te prospettate la pallina DEVE arrivare a terra con la stessa energia.

Ma forse hai proposto il seguente confronto, dalla risposta meno immediata e più interessante:

Prima situazione: il corpo viaggia sul piano orizzontale di un tavolo di altezza h dal pavimento con velocità v: giunto all'estremità scende e arriva a terra con una certa velocità v_f scalare.

Seconda situazione: il corpo, ad altezza h dal suolo, viene sparato in verticale verso il basso con velocità v: arrivato a terra avrà ancora velocità scalare v_f?

Se fosse vero, ciò potrebbe confermare la natura scalare dell'energia, dato che direzione e verso della velocità iniziale sarebbero ininfluenti.

Applichiamo ad entrambe le situazioni il principio di conservazione dell'energia meccanica E. Ci accorgiamo subito che il procedimento deve essere unico e quindi anche il risultato:

E_i = \frac{1}{2}mv^{2} + mgh
E_f = \frac{1}{2}mv_f^{2}

per cui, dovendo essere E_i=E_f:

\frac{1}{2}mv^{2} + mgh=\frac{1}{2}mv_f^{2},

da cui:

v_f= \sqrt{v^{2}+2gh}.

Il potente principio applicato ha il non piccolo inconveniente di non fornire indicazioni vettoriali sulle grandezze così facilmente ricavate.

Comunque capiamo facilmente che nella prima situazione il vettore \vec{v_f}, entrante nel pavimento, forma un angolo acuto con l'orizzontale: la cinematica del moto in due dimensioni ci assicura che la sua componente orizzontale è v e quella verticale è \sqrt{2gh}.
Nella seconda situazione \vec{v_f} è verticale (diretto verso il basso).

Dunque, sono uguali le due velocità scalari, ma non quelle vettoriali. Forse il tuo dubbio nasceva da questa differenza.

Comunque così stanno le cose e, generalizzando, potremmo sostenere che agli stessi risultati, riguardo alle velocità scalari, si arriverebbe sparando la massa con velocità v (dall'altezza h) in qualunque direzione e verso si volesse.

Sperando di aver interpretato e dissolto il tuo dubbio, ti saluto emt .
Disponibile ad eventuali ulteriori chiarimenti.

Re: L'energia cinetica è una grandezza scalare o vettoriale? #22209

avt
cicchibio
Cerchio
Ok grazie mille ad entrambi! emt
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Os