Forza e coefficiente d'attrito nel moto circolare in discesa, esercizio

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Forza e coefficiente d'attrito nel moto circolare in discesa, esercizio #18823

avt
cicchibio
Cerchio
Buon giorno a tutti.

Sono alla prese con questo problemino sul calcolo della forza e del coefficiente d'attrito in un esercizio sul moto circolare in discesa.

Uno scivolo in un parco giochi ha la forma di un arco di cerchio di raggio 12 m, tangente al terreno ed è alto 4 m. un bambino di massa 25 kg parte da fermo dalla sommità dello scivolo e arriva in fondo alla velocità di 6,2 m/s. qual è la lunghezza dello scivolo? Quale forza d'attrito media agisce sul bambino lungo questa distanza? Qual' è il coefficiente d'attrito?

Io ho provato a svolgerlo ma non ho i risultati.

Applicando la trigonometria ho ricavato la lunghezza dello scivolo e mi risulta:

 l = 10 m

Poi ho trovato il lavoro disperso facendo la differenza di energia potenziale all' inizio ed energia cinetica alla fine e risulta:

 L = 499.5 J

Poi il coefficiente d'attrito risulta:

 k = 2.4975

Quest' ultimo mi sembra assai elevato per questo mi sorge il dubbio di aver sbagliato qualcosa.

E la forza d'attrito:

 Fa = 49.95 N

Potete controllare se i risultati sono corretti? Grazie mille.
 
 

Forza e coefficiente d'attrito nel moto circolare in discesa, esercizio #18873

avt
Ispirato
Visitatore
Ciao emt

Ho controllato il tuo svolgimento e ritrovo gli stessi tuoi risultati salvo quello riguardante il valore del coefficiente d'attrito.

Soffermiamoci allora su quest'ultimo.
Sappiamo che su un piano orizzontale la forza di attrito su un oggetto di massa m è Fa = kP = kmg, dove k è il coefficiente d'attrito, perché il peso è sempre perpendicolare alla direzione di moto.
Quando il piano non è orizzontale bisogna moltiplicare per k la componente perpendicolare al piano di scivolamento con attrito.
Qui, addirittura, il moto non avviene lungo una retta, ma lungo un arco di circonferenza, nel quale la componente del peso perpendicolare alla tangente all'arco cambia continuamente.
Se considerassimo come componente del peso un valore costante pari al suo stesso modulo, come se il moto avvenisse in un piano orizzontale, si troverebbe per k:

k=\frac{Fa}{mg}= \frac{49,95}{25*9,81}=0,2

Ma il valore vero di k nel nostro scivolo deve essere un po' maggiore, dato che la componente del peso efficace all'attrito è minore di mg.
Per determinare il valore esatto di k bisogna allora tener conto del fatto che tale componente cambia in continuazione e quindi bisogna far uso del calcolo infinitesimale.

Indicato allora con θ l'ampiezza dell'angolo formato dal raggio avente come estremo il punto generico occupato dalla massa e il raggio verticale, la forza di attrito generica, se k è il coefficiente d'attrito, è

Fa(\theta) = kmgcos\theta.

Quindi, essendo ds = Rdθ, il lavoro elementare dL eseguito dalla forza di attrito è:

dL = Fa(\theta)Rd\theta

Per tutto l'arco, essendo 48,19° l'angolo formato dal raggio verticale e dal raggio condotto nel punto più alto dell'arco:

La = \int_{48,19}^{0}Fa(\theta)Rd\theta = \int_{48,19}^{0}kmgcos\theta Rd\theta =

 =kmgR\int_{48,19}^{0}cos\theta d\theta =kmgR \left[sen\theta\right]_{48,19}^{0}=

=-kmgR (0 - sen48,19)=k*25*9,81*12*0,7454.

Precisando che il 'lavoro disperso' da te determinato equivale all'opposto del lavoro della forza d'attrito (necessariamente negativo), abbiamo dunque l'equazione in k:

-499,5 = -k*25*9,81*12*0,7454,

da cui:

k = 0,23.

Ciao emt

Forza e coefficiente d'attrito nel moto circolare in discesa, esercizio #18893

avt
cicchibio
Cerchio
Grazie mille per la risposta molto gentile.
Ringraziano: Omega
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Os