Esercizio dinamica rotazionale con sbarretta in rotazione libera

Una sbarra uniforme di lunghezza l=50 cm e m=300 g è libera di ruotare intorno ad un chiodo posto ad una estremità. La sbarretta viene lasciata libera nella posizione orizzontale in quiete.

a) Qual è la velocità angolare della sbarretta quando questa è verticale.

b) Si trovi la velocità del centro di massa e la velocità dell'estremo sbarretta in questa posizione

Ho provato ad applicare t=Mg l/2 e poi a=M/I, ma poi i conti non tornano. Potete aiutarmi?

Premetto che non sono un esperto, quindi prendi la mia risposta con le pinze.

Questo è un classico problema di corpo rigido. Vediamo subito di risolverlo:

come hai già intuito, potendo la sbarretta ruotare intorno ad un asse fisso, applicheremo la formula del momento d' inerzia per i corpi rigidi che nel nostro caso risulta:

mg*cos(θ)*l/2 = [(ml^2)/3]ώ

risulta così poiché la forza peso è applicata egualmente in ogni punto della sbarra e quindi possiamo farla agire nel centro di massa che siccome la sbarra è omogenea si trova in l/2 e inoltre varia man mano che la sbarretta ruota con il coseno angolo θ che la sbarretta stessa forma con la perpendicolare all' orizzontale. Inoltre il momento d' inerzia secondo il teorema di H.S. risulta [(ml^2)/3] perché l' asse di rotazione passa per un estremo della sbarra.

Da qui puoi ricavarti facilmente ώ ma non sognarti di trovare la velocità angolare semplicemente integrando perché questo ώ così trovato è in funzione dell' angolo non del tempo. E' evidente allora che questa non era la strada giusta per trovare la velocità che invece si ricava facilmente dal teorema del lavoro e dell' energia cinetica che nel nostro caso si scrive:

mg*Δh = (1/2)*Iz*(ω^2)

dove Δh è la variazione di quota del centro di massa, Iz è lo stesso momento d' inerzia di prima: [(ml^2)/3] e ω la velocità angolare che quando la sbarretta è in posizione verticale (quando quindi Δh vale l/2) vale:

ω = (3g/l)^(1/2) = circa 7,67 rad/s

il che vuol dire che i moduli della velocità del centro di massa e dell' estremo libero nella stessa posizione saranno rispettivamente

ω*l/2 = circa 1,92 m/s

ω*l = circa 3,84 m/s

la direzione sarà completamente orizzontale mentre il verso dipenderà dalla parte da cui hai lasciato cadere la sbarretta, ma comunque nel tempo, essendo questo oggetto un pendolo composto, il verso della velocità in quel punto assumerà alternatamente entrambe le direzioni senza mai fermarsi (a meno che non entrino in gioco altre forze oltre quella peso)