esercizio sui moti vari

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esercizio sui moti vari #10925

avt
dav09
Punto
non riesco a risolvere questo esercizio, avrei bisogno di un aiuto


In una bella giornata di sole al Circolo Polare Antartico il pinguino Tux , partendo da fermo si lascia scivolare sul ghiaccio senza attrito fino al punto B, esegue un salto spericolato dal punto B atterrando in C, prosegue per inerzia fino a D (senza attrito), in D finisce la banchisa e il pinguino vola in acqua impattando con l’acqua nel punto E. L’accelerazione g di gravità va approssimata a un valore di 10 m/s^2

Calcolare:
a) La velocità raggiunta nel punto A alla fine del piano inclinato
b) La velocità raggiunta nel punto B (spiegare il risultato con passaggi matematici o citando un principio della dinamica)
c) La posizione del punto C rispetto a O ovvero la gittata del volo (trascurando tutti gli attriti).
d) La componente orizzontale della velocità di Tux dopo l’impatto in C dimostrando che:
vx = 10 m/s. (Se non riesci usa questo dato per svolgere i punti successivi)
e) L’altezza DF della banchisa rispetto all’acqua sapendo che il punto E di impatto con l’acqua si trova a 4 m dal punto F.
f) La velocità con cui il pinguino dovrebbe giungere in D per impattare con l’acqua a 10 m dal punto E.

g) La forza totale ricevuta dal pinguino nell’impatto con l’acqua sapendo che esso dura 0,5 s.



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Re: esercizio sui moti vari #10926

avt
dav09
Punto
scusate ho sbagliato sezione

Re: esercizio sui moti vari #10927

avt
Omega
Amministratore
Ciao Dav09, ho provveduto a spostarla. emt

Re: esercizio sui moti vari #10965

avt
frank094
Maestro
Ciao Dav09, un problema abbastanza lungo ma tutto sommato semplice: si tratta di applicare la conservazione dell'energia o, in alternativa, le equazioni del moto uniformemente accelerato ed uniforme.

1. Il pinguino scivola lungo un piano inclinato con angolo \alpha rispetto all'orizzonte e prende quindi una accelerazione a fino al termine di esso.
L'unica forza che spinge il corpo a muoversi è, in effetti, la componente parallela al piano inclinato della forza peso del pinguino stesso; si ha quindi che

F_p = mg \sin{(\alpha)}

Applicando il secondo principio della dinamica possiamo ricavarci l'accelerazione del corpo..

\sum F = ma \implies a = \frac{F_p}{m} = g \sin{(\alpha)}

Nota l'accelerazione del corpo lungo il piano inclinato, vogliamo determinare la velocità finale e possiamo farlo sfruttando la nota formula

v_f^2 - v_0^2 = 2a \Delta S

Ma quanto vale la variazione di spazio? Molto semplice! Del triangolo rettangolo abbiamo il cateto opposto all'angolo noto perciò per ricavarci l'ipotenusa possiamo usare la relazione trigonometrica

h = l \cdot \sin{(\alpha)} \implies l = \frac{h}{\sin{(\alpha)}}

Andiamo a sostituire nella formula sopra e ricaviamoci la velocità finale sapendo che v_0 = 0 \, \text{m/s}..

v_f = \sqrt{2a \Delta S} = \sqrt{ \frac{2g \sin{(\alpha)} \cdot h}{\sin{(\alpha)}}} \implies v_A = \sqrt{2gh} \approx 10 \, \text{m/s}

2. La velocità v_B è chiaramente uguale alla velocità v_A in quanto il moto si trova su un piano privo di attrito e non inclinato.. il che vuol dire che, supponendo trascurabili le resistenze esterne, non si hanno forze che agiscono sul corpo.

\sum F = ma \implies_{F=0} a = 0

Non v'è accelerazione e conseguentemente neanche un aumento/diminuzione della velocità.

3. Il moto che porta da B a C si può approssimare senza alcun problema ad un moto parabolico orizzontale con velocità iniziale v_B.
Non ci rimane altro da fare che trovare il tempo di volo e moltiplicarlo per la velocità iniziale ( sul solo asse x ), per trovare la gittata. Le equazioni del moto sono:

\left\{ \begin{array}{l  l} x(t) = v_x \cdot t \\ y(t) = \frac{1}{2} gt^2 \end{array} \right.

Andando a sostituire l'altezza h = 5 nella seconda equazione possiamo ricavarci facilmente il tempo di volo..

\left\{ \begin{array}{l  l} x(t) = v_x \cdot t \\ 10 = 10t^2 \implies t_v = 1 \, \text{s} \end{array} \right.

Noto il tempo di volo t_v, possiamo ricavarci la gittata dalla prima equazione..

\left\{ \begin{array}{l  l} x(t) = 10 \cdot t \implies G = 10 \, \text{m} \\ 10 = 10t^2 \implies t_v = 1 \, \text{s} \end{array} \right.

4. Nel moto parabolico orizzontale la velocità in x si mantiene costante in quanto non agiscono sul corpo forze esterne F_x .. per quanto già fatto vedere in precedenza

F_x = 0 \implies a_x = 0 \implies v_{xf} = v_x = 10 \, \text{m/s}

5. In questo caso ci viene data la gittata G dalla quale possiamo ricavarci il tempo di volo t_v da sostituire nella seconda equazione per trovare l'altezza.
La velocità orizzontale rimane sempre la stessa v_x perciò possiamo scrivere subito le equazioni del moto..

\left\{ \begin{array}{l  l} x(t) = 10 t \\ y(t) = 5t^2 \end{array} \right.

Sapendo che G = x(t_v) = 4 \, \text{m} possiamo ricavarci il tempo dalla prima e passarlo subito alla seconda..

\left\{ \begin{array}{l  l} 4 = 10 t \implies t = 0,4 \, text{s} \\ y(t_v) = 5(0,4)^2 \implies h = 0,8 \, \text{m} \end{array} \right.

6. Note sia la gittata che l'altezza ( e conseguentemente il tempo di volo t_v ) possiamo risolvere la prima equazione nella variabile v_x..

G = v_x \cdot t_v \implies v_x = \frac{G}{t_v} \approx 25 \, \text{m/s}

7. Il teorema dell'impulso ci dice che il prodotto tra forza e tempo di contatto è uguale alla variazione di quantità di moto.
Il pinguino impatta con una velocità \mathbf{v} inclinata rispetto all'orizzonte .. mentre una forza {tex]\mathbf{F}{/tex} ne contrasta il moto fermandolo in un tempo t. Si ha

|\mathbf{F}| \Delta T = m |\mathbf{v}|

Poiché

\mathbf{v} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{10^2 + 8^2} \approx 12,8 \, \text{m/s}

si ottiene che

F = \frac{mv}{\Delta t} = \frac{20 \cdot 12,8}{0,5} = 512 \, \text{N}

E' tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os