Raggio di curvatura

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Raggio di curvatura #12123

avt
toyo10
Frattale
Vorrei levarmi ogni dubbio sul raggio di curvatura in riferimento ad un esercizio.

Determinare il raggio di curvatura \rho all'istante t_1=2 s della traiettoria di un punto materiale descritta dalle equazioni parametriche:

x(t)=a \cos {(\omega t)} ,\ \  y(t)= \frac{a}{4} \sin {(\omega t)}

dove \omega= \pi\ \mbox{rad}{s},\ a=2m.

Calcoliamo al curvatura dell'ellisse:

\\ x(t)=a \cos(\omega t)\\ \\ y(t)=\frac{a}{4} \sin(\omega t)

Si ha:

\\ \vec{r}\ '(t)=(-a\omega \sin(\omega t)\ ,\ \frac{a}{4}\ \omega \cos(\omega t)\ )\\ \\ \\ \vec{r}\ ''(t)=(-a\omega^2 \cos(\omega t)\ ,\ -\frac{a}{4}\ \omega^2 \sin(\omega t)\ )

Allora si ha la curvatura:

\\ k(t)= \frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{\frac{3}{2}}}=\\ \\ \\ =\frac{\frac{a^2}{4}}{(\ a^2 \sin^2 (\omega t)+\frac{a^2}{4}\cos^2 (\omega t)\ )^{\frac{3}{2}}}

Ho perso il senso fisico (..e geometrico) del tutto è meglio che mi fermo! (sarà che devo rispolverare un po' di geometria differenziale, lo so...:( )

Grazie!
 
 

Raggio di curvatura #12139

avt
Omega
Amministratore
Hello Toyo!

In realtà l'impostazione che hai proposto è quella più conveniente: le nozioni di Geometria Differenziale che hai già studiato saranno preziose come il pane nei tuoi studi in Ingegneria, soprattutto nei corsi di Fisica.

Qui la definizione di raggio di curvatura come reciproco della curvatura, nel punto individuato dal valore del parametro t=t_1, ti conduce rapidamente al risultato desiderato (rapidamente: se si conoscono, come ben conosci, la definizione di vettore tangente, vettore normale e curvatura nel punto).

Non resta che effettuare le varie valutazioni, e il gioco è fatto!

Per quanto riguarda il significato geometrico, nello specifico abbiamo una bellissima ellisse in forma parametrica (just in case: coordinate ellittiche), il raggio di curvatura è il raggio del cerchio osculatore della traiettoria (curva parametrizzata) nel punto considerato, cioè il cerchio tangente alla curva nel punto con centro individuato dalla normale alla traiettoria nel punto.

Ad ogni modo, l'interpretazione differenziale non solo è ben voluta in Fisica, ma è l'unico modo realmente sensato di trattare i problemi di cinematica.

Ciò detto, un piccolo riepilogo sul raggio di curvatura.

Il modulo della velocità si calcola come norma del vettore \gamma'

v=||\gamma'||

Introduciamo il versore tangente alla curva

\overrightarrow{t}:=\frac{\gamma'}{||\gamma'||}

Per cui possiamo separare modulo e direzione nell'espressione della velocità

\gamma'=v\overrightarrow{t}

Qui serve uno degli N risultati di Frenet, che lega la derivata del versore tangente alla curvatura k:

\overrightarrow{t}'=kv\overrightrrow{n}

Calcoliamo il prodotto vettoriale \gamma'\times \gamma''

\gamma'\times \gamma''=v\overrightarrow{t}\times (v'\overrightarrow{t}+v\overrightarrow{t}')

da cui

\gamma'\times \gamma''=vv'\overrightarrow{t}\times \overrightarrow{t}  +v^2\overrightarrow{t}\times \overrightarrow{t}'

Grazie all'equazione che lega curvatura e derivata del versore tangente

\gamma'\times \gamma''=vv'\overrightarrow{t}\times \overrightarrow{t}  +v^2\overrightarrow{t}\times kv\overrightarrow{n}

ossia

\gamma'\times \gamma''=0+kv^3\overrightarrow{b}

dove \overrightarrow{b}=\overrightarrow{t}\times \overrightarrow{n} è il vettore binormale alla curva. Passiamo ai moduli:

||\gamma'\times \gamma''||=kv^3||\overrightarrow{b}||=kv^3

da cui ricaviamo

k=\frac{||\gamma' \times \gamma''||}{||\gamma||^3}

Il raggio di curvatura è il reciproco della curvatura

\rho=\frac{1}{k}=\frac{||\gamma'||^3}{||\gamma'\times \gamma''||}
Ringraziano: Pi Greco, frank094, toyo10

Raggio di curvatura #12185

avt
toyo10
Frattale
Fantastico!
Ringraziano: Omega
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Os