Equazione curva simmetrica rispetto a una retta

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#64565
avt
BleakHeart
Frattale

Buongiorno ragazzi, mi trovo in difficoltà nel calcolo dell'equazione della curva simmetrica di un grafico rispetto a una retta. Stavo svolgendo il seguente problema della maturità (Seconda Prova PNI del 2001), ma trovo difficoltà nel svolgere il punto "d".

La traccia del problema è: nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x,y) è assegnata la funzione:

y = x^2+aln(x+b),

con a e b diversi da zero.

a) Si trovino i valori di a e b tali che la curva Γ grafico della funzione passi per l’origine degli assi e presenti un minimo assoluto in x = 1.

b) Si studi e si disegni Γ.

c) Si determini, applicando uno dei metodi numerici studiati, un’approssimazione della intersezione positiva di con l’asse x.

d) Si determini l’equazione della curva Γ' simmetrica di Γ rispetto alla retta y = y(1);

e) Si disegni, per i valori di a e b trovati il grafico di

y = |x^2+aln(x+b)|.

I valori di a e b sono: a = −4, b = 1

Riguardo allo svolgimento del punto "d", sinceramente non saprei da dove cominciare...

PS: per gli altri punti, volendo posso postarli io.. tanto ho già svolto tutti gli altri punti emt

#64567
avt
Amministratore

Ciao BleakHeart emt

Non serve che riporti tutti i punti del problema ma almeno quello che serve per il punto d) il quale chiede di determinare l'equazione della curva Γ' simmetrica di Γ rispetto alla retta y = y(1);

La curva Γ è quella che hai trovato al punto a), ovvero i parametri a e b avranno dei valori ben definiti emt

Riporta quindi tale curva e poi saprò aiutarti emt

Ringraziano: Omega
#64579
avt
BleakHeart
Frattale

I valori di a,b sono (metterò il procedimento a fine risposta):

a = −4, b = 1

quindi l'equazione della curva è

y = x^2−4ln(x+1)

Tornando al punto d):

y(1) = 1−4ln(2)

Quindi la retta y = y(1) è:

y = 1−4ln(2)

.. poi come continuo?

Per ottenere a e b ho ragionato in questo modo: la funzione y deve passare per l'origine degli assi (0,0), quindi

y(0) = 0+aln(b)

da questo si deduce che il valore di b è 1. Ora mi calcolo la derivata di y = x^2+aln(x+1):

y'= 2x+(a)/(x+1)

Siccome y deve avere un minimo assoluto in x = 1, calcolo:

y'(1) = 2+(a)/(2) ⇒ a = −4

quindi l'equazione richiesta è:

y = x^2−4ln(x+1)

#64583
avt
Galois
Amministratore

Perfetto! Hai correttamente determinato i valori dei parametri a e b e la retta y = y(1) rispetto alla quale dobbiamo trovare la funzione simmetrica.

Dovresti aver tracciato il grafico Γ della funzione che è il seguente:

simmetrico punto retta

Nel disegno, per cercare di farti capire come dobbiamo ragionare per svolgere il punto d) ho tracciato anche la retta di equazione (in blu)

y = 1−4ln(2)

rispetto alla quale dobbiamo trovare la simmetrica della funzione:

f(x) = x^2−4ln(x+1)

il cui grafico è quello disegnato emt

Osserva che, preso un generico punto A(x_0, f(x_0)) sul grafico della nostra funzione, essendo la retta parallela all'asse x, il simmetrico A' del punto A rispetto a tale retta avrà:

- la stessa ascissa di A

- come ordinata: l'ordinata del punto, (cioè f(x_0)) a cui dobbiamo sommare il doppio della distanza tra:

f(x_0) e la retta y = 1−4ln(2)

Come facciamo a trovare tale distanza?

Detto A(x,y) un generico punto sul grafico della nostra funzione e A'(x',y') il suo simmetrico, l'ordinata del punto medio del segmento AA' dovrà appartenere alla retta

y = 1−4ln(2)

ovvero:

(y+y')/(2) = 1−4ln(2)

Da cui:

y+y'= 2−8ln(2) → y = 2−8ln(2)−y'

Morale della favola, per ottenere la simmetrica della nostra funzione rispetto a tale retta basta sostituire

y con 2−8ln(2)−y'

ed x con x'

Dovrebbe venirti fuori:

−yâ²+2−8 ln (2) = (xâ²)^2−4 ln(xâ²+1)

ovvero, tralasciando gli apici e sistemandola:

y = 4 ln(x+1)−8 ln(2)−x^2+4

Così va già bene, ma volendo possiamo sistemarla meglio.

Raccogliamo a fattor comune un 4 tra i primi due termini:

y = 4[ln(x+1)−2ln(2)]−x^2+4

Ricordando ora le proprietà dei logaritmi:

c·log_(a)(b) = lob_(a)(b^c)

e

log_(a)b−log_(a)c = log_(a)((b)/(c))

possiamo scrivere:

y = 4[ln(x+1)−ln(2^2)]−x^2+4

y = 4ln((x+1)/(4))−x^2+4

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, BleakHeart, Iusbe
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