Equazione curva simmetrica rispetto a una retta

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Equazione curva simmetrica rispetto a una retta #64565

avt
BleakHeart
Frattale
Buongiorno ragazzi, mi trovo in difficoltà nel calcolo dell'equazione della curva simmetrica di un grafico rispetto a una retta. Stavo svolgendo il seguente problema della maturità (Seconda Prova PNI del 2001), ma trovo difficoltà nel svolgere il punto "d".

La traccia del problema è: nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x,y) è assegnata la funzione:

y=x^2+a\ln(x+b),

con a e b diversi da zero.

a) Si trovino i valori di a e b tali che la curva \Gamma grafico della funzione passi per l’origine degli assi e presenti un minimo assoluto in x=1.
b) Si studi e si disegni \Gamma.
c) Si determini, applicando uno dei metodi numerici studiati, un’approssimazione della intersezione positiva di con l’asse x.
d) Si determini l’equazione della curva \Gamma ' simmetrica di \Gamma rispetto alla retta y=y(1);
e) Si disegni, per i valori di a e b trovati il grafico di

y=|x^2+a\ln(x+b)|.


I valori di a e b sono: a=-4,\ b=1

Riguardo allo svolgimento del punto "d", sinceramente non saprei da dove cominciare...

PS: per gli altri punti, volendo posso postarli io.. tanto ho già svolto tutti gli altri punti emt
 
 

Equazione curva simmetrica rispetto a una retta #64567

avt
Galois
Amministratore
Ciao BleakHeart emt

Non serve che riporti tutti i punti del problema ma almeno quello che serve per il punto d) il quale chiede di determinare l'equazione della curva \Gamma ' simmetrica di \Gamma rispetto alla retta y=y(1);

La curva \Gamma è quella che hai trovato al punto a), ovvero i parametri a e b avranno dei valori ben definiti emt

Riporta quindi tale curva e poi saprò aiutarti emt
Ringraziano: Omega

Equazione curva simmetrica rispetto a una retta #64579

avt
BleakHeart
Frattale
I valori di a,b sono (metterò il procedimento a fine risposta):

a=-4,\ b=1

quindi l'equazione della curva è

y=x^2-4\ln(x+1)

Tornando al punto d):

y(1)=1-4\ln(2)

Quindi la retta y=y(1) è:

y=1-4\ln(2)

.. poi come continuo?


Per ottenere a e b ho ragionato in questo modo: la funzione y deve passare per l'origine degli assi (0,0), quindi

y(0)=0+a\ln(b)

da questo si deduce che il valore di b è 1. Ora mi calcolo la derivata di y=x^2+a\ln(x+1):

y'=2x+\frac{a}{x+1}

Siccome y deve avere un minimo assoluto in x=1, calcolo:

y'(1)=2+\frac{a}{2}\ \Rightarrow\ a=-4

quindi l'equazione richiesta è:

y=x^2-4\ln(x+1)

Equazione curva simmetrica rispetto a una retta #64583

avt
Galois
Amministratore
Perfetto! Hai correttamente determinato i valori dei parametri a e b e la retta y=y(1) rispetto alla quale dobbiamo trovare la funzione simmetrica.

Dovresti aver tracciato il grafico \Gamma della funzione che è il seguente:

simmetrico punto retta


Nel disegno, per cercare di farti capire come dobbiamo ragionare per svolgere il punto d) ho tracciato anche la retta di equazione (in blu)

y=1-4\ln(2)

rispetto alla quale dobbiamo trovare la simmetrica della funzione:

f(x)=x^2-4\ln(x+1)

il cui grafico è quello disegnato emt

Osserva che, preso un generico punto A(x_0, f(x_0)) sul grafico della nostra funzione, essendo la retta parallela all'asse x, il simmetrico A' del punto A rispetto a tale retta avrà:

- la stessa ascissa di A

- come ordinata: l'ordinata del punto, (cioè f(x_0)) a cui dobbiamo sommare il doppio della distanza tra:

f(x_0) e la retta y=1-4\ln(2)

Come facciamo a trovare tale distanza?

Detto A(x,y) un generico punto sul grafico della nostra funzione e A'(x',y') il suo simmetrico, l'ordinata del punto medio del segmento AA' dovrà appartenere alla retta

y=1-4\ln(2)

ovvero:

\frac{y+y'}{2}=1-4\ln(2)

Da cui:

y+y'=2-8\ln(2) \ \to \ y=2-8\ln(2)-y'

Morale della favola, per ottenere la simmetrica della nostra funzione rispetto a tale retta basta sostituire

y \ \mbox{con} \  2-8\ln(2)-y'

ed x \ \mbox{con} \  x'

Dovrebbe venirti fuori:

-yâ² + 2 - 8 \ln (2) = (xâ²)^2 - 4 \ln(xâ² + 1)

ovvero, tralasciando gli apici e sistemandola:

y = 4 \ln(x + 1) - 8 \ln(2) -x^2 + 4

Così va già bene, ma volendo possiamo sistemarla meglio.

Raccogliamo a fattor comune un 4 tra i primi due termini:

y=4[\ln(x+1)-2\ln(2)]-x^2+4

Ricordando ora le proprietà dei logaritmi:

c \cdot \log_{a}(b)=\lob_{a}(b^c)

e

\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\left(\frac{b}{c}\right)}

possiamo scrivere:

y=4[\ln(x+1)-\ln(2^2)]-x^2+4

y=4\ln\left(\frac{x+1}{4}\right)-x^2+4
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, BleakHeart, Iusbe
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Os