Equazione curva simmetrica rispetto a una retta

Buongiorno ragazzi, mi trovo in difficoltà nel calcolo dell'equazione della curva simmetrica di un grafico rispetto a una retta. Stavo svolgendo il seguente problema della maturità (Seconda Prova PNI del 2001), ma trovo difficoltà nel svolgere il punto "d".

La traccia del problema è: nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche è assegnata la funzione:

,

con a e b diversi da zero.

a) Si trovino i valori di a e b tali che la curva grafico della funzione passi per l’origine degli assi e presenti un minimo assoluto in .

b) Si studi e si disegni .

c) Si determini, applicando uno dei metodi numerici studiati, un’approssimazione della intersezione positiva di con l’asse x.

d) Si determini l’equazione della curva ' simmetrica di rispetto alla retta ;

e) Si disegni, per i valori di a e b trovati il grafico di

.

I valori di a e b sono:

Riguardo allo svolgimento del punto "d", sinceramente non saprei da dove cominciare...

PS: per gli altri punti, volendo posso postarli io.. tanto ho già svolto tutti gli altri punti

Ciao BleakHeart

Non serve che riporti tutti i punti del problema ma almeno quello che serve per il punto d) il quale chiede di determinare l'equazione della curva simmetrica di rispetto alla retta ;

La curva è quella che hai trovato al punto a), ovvero i parametri a e b avranno dei valori ben definiti

Riporta quindi tale curva e poi saprò aiutarti

I valori di sono (metterò il procedimento a fine risposta):

quindi l'equazione della curva è

Tornando al punto d):

Quindi la retta è:

.. poi come continuo?

Per ottenere a e b ho ragionato in questo modo: la funzione y deve passare per l'origine degli assi , quindi

da questo si deduce che il valore di è 1. Ora mi calcolo la derivata di :

Siccome y deve avere un minimo assoluto in , calcolo:

quindi l'equazione richiesta è:

Perfetto! Hai correttamente determinato i valori dei parametri a e b e la retta rispetto alla quale dobbiamo trovare la funzione simmetrica.

Dovresti aver tracciato il grafico della funzione che è il seguente:

Nel disegno, per cercare di farti capire come dobbiamo ragionare per svolgere il punto d) ho tracciato anche la retta di equazione (in blu)

rispetto alla quale dobbiamo trovare la simmetrica della funzione:

il cui grafico è quello disegnato

Osserva che, preso un generico punto sul grafico della nostra funzione, essendo la retta parallela all'asse x, il simmetrico A' del punto A rispetto a tale retta avrà:

- la stessa ascissa di A

- come ordinata: l'ordinata del punto, (cioè ) a cui dobbiamo sommare il doppio della distanza tra:

e la retta

Come facciamo a trovare tale distanza?

Detto un generico punto sul grafico della nostra funzione e il suo simmetrico, l'ordinata del punto medio del segmento AA' dovrà appartenere alla retta

ovvero:

Da cui:

Morale della favola, per ottenere la simmetrica della nostra funzione rispetto a tale retta basta sostituire

ed

Dovrebbe venirti fuori:

ovvero, tralasciando gli apici e sistemandola:

Così va già bene, ma volendo possiamo sistemarla meglio.

Raccogliamo a fattor comune un 4 tra i primi due termini:

Ricordando ora le proprietà dei logaritmi:

e

possiamo scrivere: