La trisezione di un angolo con riga e compasso è impossibile

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La trisezione di un angolo con riga e compasso è impossibile #24292

avt
myself
Punto
La mia profe di Mate ha detto che il problema della trisezione di un angolo con riga e compasso è uno dei quesiti che insieme a quadratura del cerchio e duplicazione del cubo, capita spesso nelle prove di maturità sotto forma di quesito...

La mia domanda è: perché è impossibile la trisezione di un angolo con riga e compasso?
 
 

La trisezione di un angolo con riga e compasso è impossibile #24321

avt
Omega
Amministratore
Ciao Myself emt

Occhio che dire che "la trisezione di un angolo con riga e compasso è impossibile" non è corretto. E' corretto dire che "è impossibile in generale la trisezione di un angolo con riga e compasso". Ci sono infatti alcuni particolari angoli che si possono trisecare con riga e compasso, come ad esempio \alpha=90^{0}.

Il problema: la trisezione di un angolo consiste nel dividere un dato angolo \alpha in tre angoli uguali. La trisezione con riga e compasso consiste nel dividerlo in tre angoli uguali adoperando solamente rette e circonferenze.

Perché è impossibile? Ci sono sostanzialmente due modi per vederlo, te ne propongo uno.

Supponiamo di avere un angolo \alpha e di volerlo trisecare con riga e compasso. Al di là del riferimento cartesiano che si considera, vale la formula trigonometrica

\tan{(\alpha)}=\frac{3\tan{\left(\frac{\alpha}{3}\right)}-\tan^{3}{\left(\frac{\alpha}{3}\right)}}{1-3\tan^2{\left(\frac{\alpha}{3}\right)}}

La tangente dell'angolo \alpha formato da una retta passante per l'origine è il coefficiente angolare della retta stessa, vale a dire

m=\tan{(\alpha)}

ed è un valore noto nel problema, dipende infatti dal solo angolo \alpha.

Noi vorremmo individuare tre rette passanti per l'origine, dunque tre coefficienti angolari x_1,x_2,x_3, tali da suddividere l'angolo \alpha in tre angoli uguali. Questi coefficienti angolari sono incogniti, quindi chiamiamo

x=\tan{\left(\frac{\alpha}{3}\right)}

La precedente identità trigonometrica si traduce in un'equazione in x:

x^3-3mx^2-3x+m=0

A meno di non scegliere particolari valori di m, ovvero particolari angoli \alpha, si può mostrare (e questo puoi darlo per buono, oppure puoi provare a dimostrarlo) che la precedente equazione non ammette soluzioni reali.

Quindi, a meno di non scegliere particolari angoli, la trisezione di un angolo con riga e compasso è impossibile.

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Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, myself
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Os