Funzione con parametro a e massimi e minimi (questionario Maturità 2001)

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Funzione con parametro a e massimi e minimi (questionario Maturità 2001) #22303

avt
SweetLove
Cerchio
Ciao, ho una domanda tratta dal questionario della Maturità 2001, su un esercizio di massimi e minimi di una funzione con un parametro a.

Considerata la funzione f(x)=ax^3+2ax^2-3x, dove a è un parametro reale e non nullo, determinare i valori di a per cui essa ha un massimo e un minimo relativi e quelli per cui non ha punti estremanti.

Per il ripasso, ho ritenuto opportuno prendere tutti i temi d'esame che ci sono dietro al libro di Matematica, nonché le tracce degli anni precedenti. Questa traccia appartiene al questionario 2001 dell'esame di Stato - maturità per il corso tradizionale.

Ed ecco che mi viene un dubbio: il libro mi dice che non vi sono punti estremanti per a compreso tra -9/4 e 0 inclusi, io calcolo la derivata prima, cioè 3ax^2+4ax -3 e la studio come equazione parametrica di 2° grado. Ma trovo che il delta è maggiore di 0 e non riconducibile ad un numero razionale intero. Allora mi chiedo: come faccio a trovarmi ad un risultato di -9/4? Se le due soluzioni solo reali e non coincidenti (come dovrebbe essere), come faccio a trovarmi 0?

Ringrazio in anticipo!

(Dite che è una domanda banale oltre che essere un orrore formulato da un comune liceale di liceo scientifico?! XD)
 
 

Funzione con parametro a e massimi e minimi (questionario Maturità 2001) #22336

avt
Omega
Amministratore
Ciao Sweetlove emt

Per rispondere alle richieste dell'esercizio dobbiamo fare riferimento al metodo per lo studio della monotonia e dei massimi e minimi di funzioni reali di variabile reale, anche se la funzione presenta un parametro.

Calcoliamo la derivata prima della funzione f(x), che ha dominio Dom(f)=\mathbb{R} essendo una funzione polinomiale:

f(x)= ax^3+2ax^2-3x

f(x)= 3ax^2+4ax-3

La tua idea di studiare l'equazione per gli zeri della derivata prima come un'equazione di secondo grado dipendente da un parametro è corretta: per avere solo due punti estremanti l'equazione parametrica deve avere due radici reali distinte, il che significa: il discriminante (delta) dell'equazione di secondo grado deve essere positivo

\Delta(a)=16a^2+36a>0

Ecco dunque svelato l'errore: devi aver sbagliato un conto nel calcolo del discriminante. Risolvendo la disequazione di secondo grado relativa al segno del delta otteniamo

a<-\frac{9}{4}\vee a>0

valori per i quali la funzione presenta due punti estremanti. Per ogni valore del parametro a avremo certamente un massimo e un minimo relativi, perché la derivata prima ha certamente due zeri e il segno della derivata prima deve presentare un andamento della forma

- + -

+ - +

questo perché la disequazione di secondo grado che discende dallo studio del segno della derivata è di secondo grado.

I valori del parametro a tali per cui la funzione non presenta alcun punto estremante sono invece dati da

-\frac{9}{4}<a<0

perché con tali valori del parametro otteniamo una derivata prima che è un polinomio di secondo grado con discriminante negativo e coefficiente del termine quadratico negativo, dunque la derivata è negativa sull'intero asse reale. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, SweetLove
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Os