Problema esame di stato 2009...Risoluzione funzione f(x) = x^3 + kx

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Problema esame di stato 2009...Risoluzione funzione f(x) = x^3 + kx #10988

avt
Dany94
Punto
Ciao Ragazzi!! emt Mi potreste gentilmente aiutare con la risoluzione di questo problema?
In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy , si consideri la funzione f : R → R definita da f (x)= x 3+k x , con k parametro reale.
1. Si dica come varia il grafico di f al variare di k ( k positivo, negativo o nullo).
2. Sia g(x) = x^3 e γ il suo grafico. Si dimostri che γ e la retta d’equazione y = 1 − x hanno un solo punto P in comune. Si determini l’ascissa di P approssimandola a meno di 0,1 con un metodo iterativo di
calcolo.
3. Sia D la regione finita del primo quadrante delimitata da γ e dal grafico della funzione inversa di g. Si calcoli l’area di D.
4. La regione D è la base di un solido W le cui sezioni con piani perpendicolari alla bisettrice del primo quadrante sono tutte rettangoli di altezza 12. Si determini la sezione di area massima. Si calcoli il volume di W.

E' un po' impegnativo, lo so emt
Ciaooooo emt
 
 

Re: Problema esame di stato 2009...Risoluzione funzione f(x) = x^3 + kx #11010

avt
Omega
Amministratore
Ciao Dany94...ammazza che domandina! emt emt

Ok, facciamolo! emt

Primo punto: che cosa richiede il testo dell'esercizio? Richiede di studiare la funzione f(x)=x^3+kx in dipendenza dal parametro reale k. Non mi perdo in troppi preamboli, e vado dritto al succo del discorso...

Dominio: funzione definita su tutto \mathbb{R}: Dom(f)=\mathbb{R} .

Segno, intersezioni: risolviamo la disequazione

x^3+kx\geq 0

x(x^2+k)\geq 0

Se k>0 il fattore x^2+k è positivo sull'intero asse reale, quindi le soluzioni della disequazione sono date da x\geq 0.

Se k=0, le soluzioni della disequazione sono date da x\geq 0

Se k< 0, il primo fattore è positivo per x>0 mentre il secondo fattore è positivo per x<-\sqrt{-k}\vee x>+\sqrt{-k}, cosicché la funzione è positiva per -\sqrt{-k}< x<0 \vee x>\sqrt{-k}.

Per quanto riguarda le intersezioni con l'asse delle ordinate, abbiamo sempre come intersezione (0,0), dedotta valutando la funzione f(x) in x=0.

Per le intersezioni con l'asse delle ascisse:

- se k>0, l'unica intersezione è x=0;

- se k=0, l'unica intersezione è x=0;

- se k<0, ci sono tre intersezioni: x=0\mbox{ }x=\pm\sqrt{-k};

Limiti agli estremi del dominio: dobbiamo solamente calcolare

\lim_{x\to - \infty}{x^3+kx}=-\infty

\lim_{x\to + \infty}{x^3+kx}=+\infty

e sono sempre gli stessi indipendentemente dalla scelta di k, perché l'infinito principale è x^3.

Parità/disparità: la funzione f(x) è dispari per ogni scelta di k, infatti

f(-x)=(-x)^3+k(-x)=-x^3-kx=-(x^3+kx)=-f(x)

quindi è simmetrica rispetto all'origine.

Derivata prima, monotonia, punti estremanti: calcoliamo la derivata prima

f'(x)=3x^2+k

lo studio del segno non è complicato:

- se k>0, la derivata prima è positiva su tutto l'asse reale (è somma di due termini positivi);

- se k=0, la derivata prima è positiva su tutto l'asse reale (è somma di due termini positivi);

in entrambi i casi abbiamo a che fare con una funzione crescente su tutto l'asse reale. Non ci sono punti di massimo né di minimo.

- se k<0 negativo, risolviamo la disequazione

f'(x)>0

3x^2+k>0

che ha soluzioni x\leq -\sqrt{\frac{-k}{3}}\vee x\geq +\sqrt{\frac{-k}{3}}, intervalli sui quali la funzione f(x) è crescente perché ha derivata prima positiva. Altrove è decrescente, e dunque -\sqrt{\frac{-k}{3}} è un punto di massimo (relativo, cfr. limiti agli estremi del dominio) e +\sqrt{\frac{-k}{3}} è un punto di minimo relativo.

Derivata seconda, punti di flesso, concavità/convessità: calcoliamo la derivata seconda

f''(x)=6x

per cui risulta che, indipendentemente da k, se consideriamo

f''(x)\geq 0

6x\geq 0

abbiamo che la funzione è convessa per x>0 e concava altrove (a seconda che, rispettivamente, la derivata seconda sia positiva o negativa).

Che faccia ha il grafico? Dalle informazioni che abbiamo dedotto, si vede che a seconda dei casi è della forma (k positivo - blu; nullo; rosso; negativo; verde)

Maturit2009problemaDany94


Fine della prima parte, in arrivo la seconda emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, frank094, Ifrit, Brin, CarFaby

Re: Problema esame di stato 2009...Risoluzione funzione f(x) = x^3 + kx #11011

avt
Omega
Amministratore
Seconda parte: mostrare che l'equazione

x^3=1-x

ammette una e una sola soluzione, il che equivale come da richiesta a dimostrare che le funzioni g(x)=x^3 e h(x)=1-x hanno i grafici che si intersecano in uno e un solo punto.

Il grafico della funzione g(x) e quello della funzione h(x) permetterebbero già di provarlo velocemente...


Maturit2009problemaDany942



...solo che bisogna supportare la tesi con considerazioni analitiche di tipo qualitativo! emt

E' presto detto: la funzione g(x) ha derivata prima sempre positiva, ergo è sempre crescente; è continua su tutto l'asse reale ed è illimitata superiormente e inferiormente.

La funzione h(x), invece, ha derivata prima h'(x)=-1 e dunque è decrescente su tutto il suo dominio, che è l'intero asse reale, ed è tale che

\lim_{x\to -\infty}{h(x)}=+\infty

e

\lim_{x\to +\infty}{h(x)}=-\infty

Le due funzioni hanno necessariamente i grafici che si intersecano in uno e un solo punto (alla luce del fatto che sono entrambe funzioni continue).

In alternativa, per dimostrare l'esistenza (ma non l'unicità), si può fare riferimento al teorema degli zeri di Bolzano: una funzione w(x) definita su un intervallo [a,b], continua su tale intervallo e tale da assumere agli estremi dell'intervallo valori di segno opposto, vale a dire che w(a)w(b)<0, è tale da ammettere l'esistenza di un punto x_0\in (a,b) interno all'intervallo tale che

w(x_0)=0

Procediamo alla ricerca di x_0 mediante il metodo della bisezione, considerando come intervallo di partenza [0,1], che soddisfa le ipotesi richieste in quanto

w(0)=-1

w(1)=+1

Valutiamo la funzione w(x) in x=\frac{1}{2}:

w\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{8}=-0,375

Ora restringiamo la ricerca all'intervallo "dimezzato" che preserva l'ipotesi dei valori di segno opposto, vale a dire \left[\frac{1}{2},1\right], e ne consideriamo il punto medio

x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

valutiamo

w\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{27}{64}+\frac{3}{4}-1=\frac{11}{64}=+0,171875

Abbiamo capito come funziona: il prossimo punto medio lo prendiamo relativamente all'intervallo \left[\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right], ossia

x=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}

e valutiamo

w\left(\frac{5}{8}\right)=\frac{125}{512}+\frac{5}{8}-1=-\frac{67}{512}=-0,13085...

Non basta: noi vogliamo un'approssimazione che approssimi l'ascissa del punto x_0 a meno di uno 0,1, quindi dobbiamo determinare un'intervallo di ampiezza \leq 0,2. In questo modo lo zero della funzione w(x) viene approssimato dal punto medio dell'intervallo (tutti i punti interni all'intervallo distano infatti meno di 0,1 dal punto medio dell'intervallo stesso)...

...ma la buona notizia è che abbiamo finito: infatti se consideriamo l'intervallo \left[\frac{5}{8},\frac{3}{4}\right], vediamo che la sua ampiezza è data da

\frac{3}{4}-\frac{5}{8}=\frac{1}{8}=0,125<0,2

e quindi il punto medio dell'intervallo, che è

\frac{3}{4}+\frac{1}{16}=\frac{13}{16}

approssima lo zero della funzione a meno di 0,1.

Fine della seconda parte...emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, frank094, Ifrit, Brin, CarFaby

Re: Problema esame di stato 2009...Risoluzione funzione f(x) = x^3 + kx #11012

avt
Ifrit
Ambasciatore
Punto 3

Abbiamo la funzione g(x)=x^3 la funzione inversa è ovviamente:

g^{-1}(x)= \sqrt[3]{x}. A questo punto dobbiamo determinare i punti di intersezione tra le due funzioni, cioè dobbiamo risolvere il sistema:

\begin{cases}y= x^3\\ y= \sqrt[3]{x}\end{cases}

la cui equazione risolvente è:

x^3= \sqrt[3]{x}

Elevando al cubo membro a membro otterremo l'equazione equivalente:

x^9= x

da cui:

x^9-x=0\iff x(x^8-1)=0

Osserviamo che x^8-1 è una differenza di quadrati quindi fattorizzabile come segue:

x^8-1=(x^4+1)(x^4-1)

possiamo ancora fattorizzare x^4-1= (x^2-1)(x^2+1)= (x+1)(x-1)(x^2+1)

Di conseguenza l'equazione x(x^8-1)=0 diventa:

x(x^4+1)(x+1)(x-1)(x^2+1)=0

per la legge di annullamento del prodotto, il prodotto precedente è zero se e solo se almeno uno dei fattori è uguale a zero:

x=0

x^4+1=0\mbox{ mai }

x+1=0\iff x=-1

x-1=0\iff x=1

x^2+1=0\mbox{ mai}

Le soluzioni sono:

x_1=-1, x_2=0, x_3=1

Poiché D si trova nel primo quadrante, le intersezioni che fanno a caso nostro si hanno per x_2=0, x_3=1. Questi punti saranno gli estremi di integrazione, che ci servirà per determinare l'area della regione.

La funzione g(x)=x^3 sia minore o uguale a g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x} per ogni x\in[0, 1]

Quindi per determinare l'area della regione dobbiamo risolvere il seguente integrale:

\mbox{Area}(D)=\int_0^1 g^{-1}(x)-g(x)dx=

\int_0^1  \sqrt[3]{x}-x^3dx=

Sfruttando la linearità dell'operatore integrale:

\int_0^1\sqrt[3]{x}dx-\int_0^1 x^3=

 =\int_{0}^1x^{\frac{1}{3}}dx-\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=

=\left[\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}\right]_0^1-\frac{1}{4}= \frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}

______________________

Punto 4:

La regione D è la base di un solido W le cui sezioni con piani perpendicolari alla bisettrice del primo quadrante sono tutte rettangoli di altezza 12. Si determini la sezione di area massima. Si calcoli il volume di W.


Ecco questo è un punto delicato, bisogna avere un disegno che possa spiegare quello che sto per fare.

La sezione di piano è un rettangolo che ha per base il segmento che congiunge due punti opposti (rispetto alla bisettrice) che appartengono alle curve in questione e altezza costante h=12.

Poiché il grafico della funzione g e della inversa sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante la distanza tra un punto del grafico della funzione g e la bisettrice è metà della base del rettangolo in questione.

Sia P un punto del grafico di funzione g(x), esso ha coordinate:

P(x, x^3)


Calcoliamo la distanza con la retta r:y-x=0

\mbox{dist}(P, r)= \sqrt{(x^3-x)^2}= \frac{|x^3-x|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-x^3)\quad\forall x\in[0,1]

La base è data quindi da:

b(x)=2\times \mbox{dist}(P, r)=2\frac{\sqrt{2}}{2} |x^3-x|= \sqrt{2}(x-x^3)\quad x\in[0, 1]

di conseguenza l'area del rettangolo è data dalla espressione:
\mbox{Area}(x)= b(x)\times h= 12\sqrt{2}(x-x^3)

Dove x\in[0, 1]

Determinare il rettangolo di area massima significa determinare il massimo della funzione Area(x) nell'intervallo [0,1]


Per determinare il massimo e il minimo in [0, 1] utilizziamo il metodo della derivata prima:

La derivata prima risulta essere:

\mbox{Area}'(x)= 12\sqrt{2}(1-3x^2)

Il punto di massimo o di minimo annulla la derivata prima:

\mbox{Area}'(x)=0\iff 12\sqrt{2}(1-3x^2)=0

Le cui soluzioni sono:

x_1= -\frac{1}{\sqrt{3}}, x_2= \frac{1}{\sqrt{3}}

la soluzione x1 è da scartare perché non appartenente all'intervallo [0,1]

Osserviamo inoltre che la derivata prima è positiva per x\in\left(0,\frac{1}{\sqrt{3}}\right)

mentre è negativa per x\in\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1\right)

x=\frac{1}{\sqrt{3}} è un punto di massimo per la funzione Area. L'area massima è:

\mbox{Area}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=8\sqrt{\frac{2}{3}}

La base vale invece:

b\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}

Il volume è immediato:

V_W= \mbox{Area}(D)\times h= \frac{1}{2}\times 12= 6

Dove l'area di D l'abbiamo determinata nel punto precedente.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, frank094, Brin, CarFaby
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