Esempio di esercizio da terza prova su massimi e minimi

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Esempio di esercizio da terza prova su massimi e minimi #10191

avt
toccithebest
Cerchio
Mi aiutate a risolvere questo problema da terza prova di Matematica? Devo trovare due numeri la cui somma è 2a con a>0, e tali che la somma delle loro radici quadrate sia massima.

Grazie per l'eventuale risposta!
 
 

Esempio di esercizio da terza prova su massimi e minimi #10205

avt
Omega
Amministratore
Ciao Toccithebest!

Chiamiamo i due numeri b,c, vogliamo massimizzare la quantità

\sqrt{b}+\sqrt{c}

Dato che la somma dei due numeri è 2a

b+c=2a

dove a è una costante fissata, se assegniamo al primo numero il ruolo di variabile b=x, allora dalla relazione della somma possiamo scrivere

c=2a-x

Possiamo allora scrivere la funzione da massimizzare come

f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{2a-x}

Con queste osservazioni preliminari, ci siamo ricondotti ad un classicissimo esercizio di calcolo di massimi e minimi di una funzione reale di variabile reale.

Da qui in poi si va sul velluto!

Per prima cosa, determiniamo il dominio della funzione (va sempre fatto perché dobbiamo individuare l'insieme in cui è definita la funzione): abbiamo due radici quadrate, i cui argomenti devono essere non negativi, cioè maggiori-uguali a zero

\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\ 2a-x\geq 0\end{matrix}

nota che le due condizioni devono valere contemporaneamente, e quindi vanno messe a sistema

\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\ x\leq 2a\end{matrix}

Il dominio della funzione è quindi Dom(f)=[0,2a].

Calcoliamo la derivata prima: abbiamo una somma di funzioni e, in accordo con l'algebra delle derivate, la derivata di una somma è la somma delle derivate delle singole funzioni, per cui

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{2a-x}}\cdot(-1)

dove nel derivare il secondo addendo abbiamo applicato il teorema di derivazione della funzione composta

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{2a-x}}

denominatore comune

f'(x)=\frac{\sqrt{2a-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x(2a-x)}}

Passiamo allo studio del segno di f'(x), e risolviamo f'(x)\geq 0.

Il denominatore è sempre positivo sul dominio di f(x), ci limitiamo a risolvere

\sqrt{2a-x}\geq \sqrt{x}

eleviamo direttamente al quadrato entrambi i membri, le condizioni di esistenza sono già garantite dalla restrizione al dominio

\\ 2a-x\geq x\\ \\ x\leq a

Ne deduciamo che la derivata prima è positiva per x\leq a, intervallo sul quale la funzione f(x) è crescente, mentre su x\in (a,2a) la derivata prima è negativa e la funzione f(x) è descrescente.

In conclusione: il massimo della funzione è dato dal valore x=a, per il quale la somma delle due radici vale

f(a)=2\sqrt{a}

Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...
Ringraziano: frank094, Ifrit, toccithebest
  • Pagina:
  • 1
Os