Integrale indefinito di una funzione trigonometrica

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Integrale indefinito di una funzione trigonometrica #9834

avt
Luigi
Punto
Per favore, mi spiegate la risoluzione di un integrale con integranda una funzione trigonometrica? Non ho la minima idea di come si possa svolgere:

∫√(1+cos^2(x))sin(2x)cos(2x)dx

Grazie!
 
 

Integrale indefinito di una funzione trigonometrica #9836

avt
Omega
Amministratore
Ciao Luigi emt

Per calcolare l'integrale

∫√(1+cos^2(x))sin(2x)cos(2x)dx =

scriviamo il sin(2x) mediante la formula di duplicazione

= ∫√(1+cos^2(x))2sin(x)cos(x)cos(2x)dx =

Osservando che (d)/(dx)(1+cos^(2)(x)) = 2cos(x)(-sin(x)), possiamo integrare per parti prendendo come derivata √(1+cos^2(x))2sin(x)cos(x).

Dobbiamo però far saltare fuori un meno:

= -∫√(1+cos^2(x))2(-sin(x))cos(x)cos(2x)dx =

e possiamo procedere:

= -([(1+cos^2(x))]^((3)/(2)))/((3)/(2))cos(2x)+

-∫[-([(1+cos^2(x))]^((3)/(2)))/((3)/(2))](-sin(2x))2dx =


riscriviamo il tutto in una forma migliore

= -(2)/(3)[(1+cos^2(x))]^((3)/(2))cos(2x)-(4)/(3)∫(1+cos^2(x))^((3)/(2))sin(2x)dx =

Per quanto osservato in precedenza, vediamo che possiamo integrare direttamente perché il fattore (-sin(2x)) è proprio la derivata della base della potenza: come prima, portando nell'integrale un meno

= -(2)/(3)[(1+cos^2(x))]^((3)/(2))cos(2x)+(4)/(3)∫(1+cos^2(x))^((3)/(2))(-sin(2x))dx =

otteniamo

= -(2)/(3)[(1+cos^2(x))]^((3)/(2))cos(2x)+(4)/(3)((1+cos^2(x))^((5)/(2)))/((5)/(2))+c =

ossia

= -(2)/(3)(1+cos^2(x))^((3)/(2))cos(2x)+(8)/(15)(1+cos^2(x))^((5)/(2))+c

e abbiamo finito. emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, frank094, Ifrit, CarFaby, frc95

Integrale indefinito di una funzione trigonometrica #9855

avt
Luigi
Punto
Ti ringrazio infinitamente, Omega
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os