Integrale indefinito di una funzione trigonometrica

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Integrale indefinito di una funzione trigonometrica #9834

avt
Luigi
Punto
Per favore, mi spiegate la risoluzione di un integrale con integranda una funzione trigonometrica? Non ho la minima idea di come si possa svolgere:

\int{\sqrt{1+\cos^2{(x)}}\sin{(2x)}\cos{(2x)}dx}

Grazie!
 
 

Integrale indefinito di una funzione trigonometrica #9836

avt
Omega
Amministratore
Ciao Luigi emt

Per calcolare l'integrale

\int{\sqrt{1+\cos^2{(x)}}\sin{(2x)}\cos{(2x)}dx}=

scriviamo il \sin{(2x)} mediante la formula di duplicazione

\\ =\int{\sqrt{1+\cos^2{(x)}}2\sin{(x)}\cos{(x)}\cos{(2x)}dx}=

Osservando che \frac{d}{dx}(1+\cos^{2}{(x)})=2\cos{(x)}(-\sin{(x)}), possiamo integrare per parti prendendo come derivata \sqrt{1+\cos^2{(x)}}2\sin{(x)}\cos{(x)}.

Dobbiamo però far saltare fuori un meno:

=-\int{\sqrt{1+\cos^2{(x)}}2(-\sin{(x)})\cos{(x)}\cos{(2x)}dx}=

e possiamo procedere:

=-\frac{[(1+\cos^2{(x)})]^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\cos{(2x)}+

-\int{\left[-\frac{[(1+\cos^2{(x)})]^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right](-\sin{(2x)})2dx}=


riscriviamo il tutto in una forma migliore

=-\frac{2}{3}[(1+\cos^2{(x)})]^{\frac{3}{2}}\cos{(2x)}-\frac{8}{3}\int{(1+\cos^2{(x)})^{\frac{3}{2}}\sin{(2x)}dx}=

Per quanto osservato in precedenza, vediamo che possiamo integrare direttamente perché il fattore (-\sin{(2x)}) è proprio la derivata della base della potenza: come prima, portando nell'integrale un meno

=-\frac{2}{3}[(1+\cos^2{(x)})]^{\frac{3}{2}}\cos{(2x)}+\frac{4}{3}\int{(1+\cos^2{(x)})^{\frac{3}{2}}(-\sin{(2x)})dx}=

otteniamo

=-\frac{2}{3}[(1+\cos^2{(x)})]^{\frac{3}{2}}\cos{(2x)}+\frac{4}{3}\frac{(1+\cos^2{(x)})^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+c=

ossia

=-\frac{2}{3}(1+\cos^2{(x)})^{\frac{3}{2}}\cos{(2x)}+\frac{8}{15}(1+\cos^2{(x)})^{\frac{5}{2}}+c

e abbiamo finito. emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, frank094, Ifrit, CarFaby, frc95

Integrale indefinito di una funzione trigonometrica #9855

avt
Luigi
Punto
Ti ringrazio infinitamente, Omega
Ringraziano: Omega
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Os