Rappresentare graficamente questa funzione...(studio di una funzione trigonometrica)

Ciao ragazzi! Mi aiutereste con lo studio di una funzione trigonometrica fratta? Eccola qui: la variabile è limitata all'intervallo [0, 2 Pi Greco].



Devo trovare dominio, asintoti, positività, crescenza. Grazie in anticipo!

Ciao Dany94, vediamo subito come fare: seguiamo il metodo per lo studio di funzione!


La condizione a lato è importantissima perché ci dice in quale zona del grafico dobbiamo studiare la funzione; ovviamente la condizione è data così perché la funzione è periodica e sarebbe privo di senso studiarla su tutto l'insieme dei reali.

Dominio

La funzione è sempre definita tranne quando il denominatore si annulla; per trovare in quali punti ciò accade dobbiamo risolvere l'equazione goniometrica


Dividendo a destra e sinistra per il coseno, che sicuramente non si annulla in corrispondenza di una soluzione, si ottiene l'equazione


Poiché dobbiamo discutere la funzione in un intervallo limitato vediamo che le uniche soluzioni si hanno per . Si ha dunque che il dominio è



Intersezioni con gli assi

Per trovare le intersezioni della funzione con gli assi possiamo prima valutare che ci restituisce quella con l'asse delle ..


Mentre per quanto riguarda l'intersezione con l'asse delle dobbiamo semplicemente risolvere l'equazione


Poiché il dominio è limitato vale solo la soluzione per ; e così abbiamo trovato tutte le intersezioni.


Segno della funzione

Per studiare il segno della funzione dobbiamo, abbastanza semplicemente, risolvere la disequazione


Il numeratore è sempre maggiore di zero meno che nel punto ; il denominatore invece richiede uno studio veloce:


Per risolvere questa disequazione si può ricorrere alla circonferenza goniometrica: nel primo quadrante è verificata fino ai gradi; nel secondo quadrante non è mai verificata; nel terzo quadrante è verificata solo fino a gradi; infine nel quarto quadrante è sempre verificata.

La funzione risulta dunque crescente in


mentre è decrescente in


Limiti: vediamo come si comporta la funzione quando tende ai valori che la annullano..





Questo vuol dire che le due rette passanti per i punti in cui non è definita e che sono parallele all'asse delle y sono asintoti verticali. La funzione agli estremi tende allo stesso valore . Non ci sono, come è ovvio, altri asintoti perché la ad infinito non ci va ( ed è una funzione periodica! ).


Derivata prima per massimi e minimi

Deriviamo la funzione per capire dove questa è crescente o decrescente e per individuare possibili massimi/minimi:


Per studiare crescenza e decrescenza imponiamo maggiore di zero tale disequazione ed in particolare il numeratore ( visto che il denominatore è elevato al quadrato )..


Tale disequazione può essere risolta con il metodo grafico; ne trovi un esempio di applicazione qui.
La soluzione che vien fuori è che la funzione è crescente in


e decrescente in


Il numeratore si annulla in corrispondenza del minimo del coseno e in corrispondenza del minimo del seno; il primo punto che si ha a rende anche la funzione iniziale nulla dopo essere cresciuta perciò è un massimo locale.
Il secondo punto invece è in corrispondenza di e ci si arriva dopo che la funzione decresce .. è quindi un minimo locale.


Tutto chiaro? Per il grafico, lo puoi tracciare qui: grafico online.

Grazie per la seconda volta Frank, sei sempre gentilissimo!