Derivata di funzione frazionaria con x^x

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Derivata di funzione frazionaria con x^x #9701

avt
Frank
Punto
Per favore, mi spiegate come calcolare la derivata di questa funzione frazionaria? Mi mette in difficoltà soprattutto la presenza della funzione x^x che non so come gestire.

y=\frac{x^x-4x}{x\ln{(x)}}

Sembrerebbe un semplice quoziente di 2 funzioni ma oltretutto ho dei dubbi perché vedo un prodotto al divisore.
Grazie.
 
 

Derivata di funzione frazionaria con x^x #9709

avt
Omega
Amministratore
Ciao Frank, certo che sì emt

Essendo la funzione

y=\frac{x^x-4x}{x\ln{(x)}}

bisogna procedere innanzitutto con la regola di derivazione del rapporto di funzioni. Il problema riguardi due punti distinti:

1) la presenza di un prodotto al denominatore;

2) come si calcola la derivata di x^{x} ?

Per rispondere alla seconda domanda, calcoliamo a parte

\frac{d}{dx}[x^x]

e per farlo riscriviamo la funzione (esponenziale con base variabile) grazie alla definizione di logaritmo naturale

x^x=e^{\ln{(x^x)}}=e^{x\ln{(x)}}

Quindi abbiamo

\\ \frac{d}{dx}[x^x]=\frac{d}{dx}e^{x\ln{(x)}}= \\ \\ \\ = e^{x\ln{(x)}}\frac{d}{dx}(x\ln{(x)})= \\ \\ \\ =e^{x\ln{(x)}}[1\cdot \ln{(x)}+x\frac{1}{x}]

dove al penultimo passaggio abbiamo applicato la regola di derivazione del prodotto di funzioni (regola di Leibniz), mentre al primo passaggio abbiamo applicato il teorema per le derivate di funzioni composte.

In definitiva

\frac{d}{dx}x^x=e^{x\ln{(x)}}[\ln{(x)}+1]

---

Passiamo al primo dei due dubbi: sappiamo che dobbiamo applicare il teorema di derivazione del rapporto di funzioni, vale a dire

\frac{d}{dx}\left[\frac{N(x)}{D(x)}\right]=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^2}

Noi abbiamo come denominatore il prodotto di due funzioni:

D(x)=x\ln{(x)}

Nessun problema: quando dovremo derivare il denominatore, in accordo con la formula di derivazione del prodotto, deriveremo facendo ricorso alla regola di derivazione del prodotto di funzioni

\frac{d}{dx}\left[g(x)h(x)\right]=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)

Nel nostro caso

\frac{d}{dx}[x\ln{(x)}]=1\cdot \ln{(x)}+x\frac{1}{x}=\ln{(x)}+1

Siamo pronti a calcolare

\frac{d}{dx}f(x)=\frac{\left[e^{x\ln{(x)}}(\ln{x}+1)-4\right](x\ln{(x)})-(x^{x}-4x)[\ln{(x)}+1]}{x^2\ln^2{(x)}}

dove nel calcolare N'(x) abbiamo applicato la regola di derivazione della somma/differenza di funzioni:

\frac{d}{dx}[A(x)\pm B(x)]=A'(x)\pm B'(x).

Portando il tutto in una forma un filino più decorosa:

\frac{d}{dx}f(x)=\frac{\left[x^x(\ln{x}+1)-4\right](x\ln{(x)})-(x^{x}-4x)[\ln{(x)}+1]}{x^2\ln^2{(x)}}

per il resto, lascio a te l'onere e l'onore di dare il colpo di grazia alla derivata: bisogna solamente riscrivere il tutto in una forma più compatta (non è obbligatorio) raccogliendo ciò che si può raccogliere. emt
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit, Frank, CarFaby
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Os