Studio di funzione prodotto di valore assoluto ed esponenziale

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Studio di funzione prodotto di valore assoluto ed esponenziale #9018

avt
lupe
Punto
Per favore, mi potreste aiutare con lo studio di una funzione che è il prodotto di un valore assoluto per un'esponenziale? Sarebbe questa:

f(x) = |x^2-1| , e^(2x)

Grazie in anticipo! emt
 
 

Studio di funzione prodotto di valore assoluto ed esponenziale #42549

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lupe, vediamo subito come studiare la funzione!

f(x) = |x^2-1| , e^(2x)

Dominio: la funzione f è data dal prodotto di funzioni continue e non presenta alcun punto di discontinuità; per questo motivo possiamo dire che il dominio è

dom(f) = R = (-∞,+∞)

Simmetrie: la funzione non presenta chiaramente simmetrie particolari; vediamo solo se si tratta di una funzione pari o dispari valutandola nel punto -x

f(-x) = |(-x)^2-1| , e^(2(-x)) = |x^2-1|e^(-2x)

La funzione non è chiaramente né pari, né dispari perciò la funzione sicuramente non presenta simmetrie notevoli.

Intersezioni con gli assi: la funzione è ben definita in tutto l'insieme dei numeri reali perciò possiamo cercare l'intersezione con l'asse delle y, dato semplicemente da f(0), e con l'asse delle x.

y → f(0) = |-1| e^0 = 1 ⇒ A = (0, 1)

Per quanto riguarda l'asse delle x si ha

f(x) = 0 → |x^2-1|e^(2x) = 0

La funzione esponenziale non può annullarsi e dunque affinché il prodotto sia nullo dobbiamo richiedere che il fattore |x^2-1| sia uguale a zero

|x^2-1| = 0 → x^2-1 = 0 → x = ±1

In definitiva f(x) interseca l'asse delle ascisse nei punti (1, 0) e (-1, 0).

Segno della funzione: la funzione è chiaramente sempre positiva nel suo dominio ( tranne quando si annulla ) perché data dal prodotto di due funzioni sempre positive ( o al più nulle - la prima - ).

Limiti: vediamo adesso come la funzione si comporta quando la x va ad infinito ( positivo e negativo ) in modo da poter iniziare a tracciare un grafico .

lim_(x → +∞) f(x) = lim_(x → +∞)|x^2-1|e^(2x) = +∞ ; lim_(x → -∞) f(x) = lim_(x → -∞)|x^2-1|e^(2x) = 0^+

Il secondo risultato si deve al fatto che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto al semplice x^2.

Asintoti: di asintoti verticali non ne troviamo ( la funzione è continua in tutto l'insieme dei reali ). Vediamo ora per gli asintoti obliqui:

m_1 = lim_(x → +∞) (f(x))/(x) = lim_(x → +∞)(|x^2-1|e^(2x))/(x) = +∞

Ancora una volta l'esponenziale è un infinito di ordine superiore alla potenza presente al denominatore.

Questo vuol dire che non ci sono asintoti obliqui; troviamo quindi che l'unico asintoto presente è l'asintoto orizzontale calcolato poc'anzi con il limite a meno infinito.

y = 0 è l'equazione dell'asintoto orizzontale sinistro.


Derivata prima e calcolo di massimi e minimi: in questo caso è conveniente definire la funzione a tratti per togliere il modulo e derivare senza grossi problemi.

f(x) = (x^2-1)e^(2x) se x ≤ -1 ∨ x ≥ 1 ; (1-x^2)e^(2x) se -1 < x < 1

Per determinare la derivata prima è sufficiente derivare ciascun ramo applicando la regola di derivazione del prodotto prima e la regola di derivazione per le funzioni composte dopo.

Attenzione: è necessario escludere i punti di raccordo x = -1, x = 1, il cui studio della derivabilità richiederà un approfondimento.

f'(x) = (d)/(dx)[f(x)] = (d)/(dx)[(x^2-1)e^(2x)] se x < -1 ∨ x > 1 ; (d)/(dx)[(1-x^2)e^(2x)] se -1 < x < 1 ; f'(x) = 2xe^(2x)+(x^2-1)·2e^(2x) se x < -1 ∨ x > 1 ;-2xe^(2x)+(1-x^2)·2e^(2x) se -1 < x < 1

Al fine di semplificare lo studio del segno della derivata prima, raccogliamo totalmente 2e^(2x) e sommiamo i termini simili

f'(x) = 2e^(2x)(x^2+x-1) se x < -1 ∨ x > 1 ; 2e^(2x)(-x^2-x+1) se -1 < x < 1

Analizziamo la derivabilità nei punti x = -1 e x = 1, cominciando dal primo. Costruiamo e calcoliamo i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale nel punto x = 1:

lim_(h → 0^(+))(f(1+h)-f(1))/(h) = lim_(h → 0^(+))(e^(2(1+h))|h^2+2h|)/(h) = lim_(h → 0^(+))(e^(2(1+h))|h|·|h+2|)/(h)

Poiché h tende a zero per valori positivi allora per definizione di valore assoluto si ha che |h| = h

conseguentemente il limite si riscrive come

lim_(h → 0^(+))(e^(2(1+h))h·|h+2|)/(h) = lim_(h → 0^(+))e^(2(1+h)) |h+2| = 2e^(2)

Calcoliamo il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in x = 1

lim_(h → 0^(-))(f(1+h)-f(1))/(h) = lim_(h → 0^(-))(e^(2(1+h))|h^2+2h|)/(h) = lim_(h → 0^(-))(e^(2(1+h))|h|·|h+2|)/(h) =

Questa volta h tende a zero per valori negativi conseguentemente per definizione di valore assoluto si ha che |h| = -h e dunque il limite diventa

= lim_(h → 0^(-))(e^(2(1+h))(-h)·|h+2|)/(h) = lim_(h → 0^(-))-e^(2(1+h))|h+2| = -2e^(2)

I due limiti sono finiti e differenti, di conseguenza la funzione non è derivabile nel punto x_0 = 1 ed in particolare scopriamo che x_0 = 1 è un punto angoloso per f(x).

Controlliamo il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in x_1 = -1

lim_(h → 0^(+))(f(-1+h)-f(-1))/(h) = lim_(h → 0^(+))(|h^2-2h|e^(2(h-1)))/(h) = lim_(h → 0^(+))(|h|·|h-2|e^(2(h-1)))/(h) =

quando h tende a zero per valori positivi |h| = h conseguentemente il limite diventa

= lim_(h → 0^(+))(h |h-2|e^(2(h-1)))/(h) = lim_(h → 0^(+))|h-2|e^(2(h-1)) = 2e^(-2)

Impostiamo e calcoliamo il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in x_1 = -1

lim_(h → 0^(-))(f(-1+h)-f(-1))/(h) = lim_(h → 0^(-))(|h^2-2h|e^(2(h-1)))/(h) = lim_(h → 0^(-))(|h|·|h-2|e^(2(h-1)))/(h) =

Attenzione, questa volta h tende a zero per valori negativi, pertanto il limite diventa

= lim_(h → 0^(-))(-h |h-2|e^(2(h-1)))/(h) = lim_(h → 0^(-))-|h-2|e^(2(h-1)) = -2e^(-2)

I limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono sì finiti ma assumono valori differenti dunque x_1 = -1 è un altro punto angoloso.

Adesso studiamo la crescenza della funzione risolvendo la disequazione

f'(x) > 0

che equivale a risolvere le due disequazioni nei domini di riferimento

2e^(2x)(x^2+x-1) > 0 se x < -1 ∨ x > 1 ; 2e^(2x)(-x^2-x+1) > 0 se -1 < x < 1

Per x < -1 ∨ x > 1 si ha che la derivata prima è positiva se e solo se

x^2+x-1 > 0 → x < (1)/(2)(-1-√(5)) ∨ x > 1

Per -1 < x < 1 la derivata prima è positiva se e solo se

-x^2-x+1 > 0 → -1 < x < (1)/(2)(-1+√(5))

Queste informazioni ci permettono di asserire che complessivamente f'(x) è

- positiva negli intervalli

(-∞, (1)/(2)(-1-√(5))) e in (-1, (1)/(2)(-1+√(5))) e in (1,+∞)

- negativa negli intervalli

((1)/(2)(-1-√(5)),-1) e in ((1)/(2)(-1+√(5)), 1)

- nulla per x = (1)/(2)(-1-√(5)) ∨ x = (1)/(2)(-1+√(5))

La funzione di partenza f(x) è quindi:

- crescente negli intervalli

(-∞, (1)/(2)(-1-√(5))) e in (-1, (1)/(2)(-1+√(5))) e in (1,+∞)

- decrescente negli intervalli

((1)/(2)(-1-√(5)),-1) e in ((1)/(2)(-1+√(5)), 1)

inoltre

x = (1)/(2)(-1-√(5))

è un punto di massimo relativo per f(x) e il massimo associato è

max = f((1)/(2)(-1-√(5))) = (1)/(2)(1+√(5))e^(-1-√(5))

È anche punto di massimo relativo il valore

x = (1)/(2)(-1+√(5))

e il massimo associato è

max = f((1)/(2)(-1+√(5))) = (1)/(2)(-1+√(5))e^(-1+√(5))

Osserviamo che i punti di non derivabilità x = -1, x = 1 sono anche punti di minimo relativi per la funzione f(x), in entrambi i casi si ha che

min = f(±1) = 0

Calcolo e studio della derivata seconda: calcoliamo la derivata seconda derivando i rami di f'(x)

f''(x) = (d)/(dx)[f'(x)] = (d)/(dx)[2e^(2x)(x^2+x-1)] se x < -1 ∨ x > 1 ; (d)/(dx)[2 e^(2x)(-x^2-x+1)] se -1 < x < 1

Grazie alla regola di derivazione del prodotto possiamo scrivere

f''(x) = 4 e^(2x)(x^2+x-1)+2e^(2x)(2x+1) se x < -1 ∨ x > 1 ; 4e^(2x)(-x^2-x+1)+2e^(2x)(-2x-1) se -1 < x < 1

Raccogliamo i fattori comuni e sommiamo i termini simili così da ottenere l'espressione della derivata seconda

f''(x) = -2e^(2x)(2x^2+4x-1) se x < -1 ∨ x > 1 ; 2e^(2x)(2x^2+4x-1) se -1 < x < 1

A questo punto studiamo il segno della derivata seconda il quale ci fornirà informazioni sulla concavità della funzione e in più ci dirà se f(x) ammette o meno punti di flesso, ossia i punti in cui avviene il cambio di concavità.

f''(x) ≥ 0

Conviene ragionare per rami. Per -1 < x < 1 la disequazione

f''(x) ≥ 0

è

-2e^(2x)(2x^2+4x-1) ≥ 0

che è equivalente alla disequazione di secondo grado

-(2x^2+4x-1) ≥ 0 → (1)/(2)(-2-√(x)) ≤ x ≤ (1)/(2)(-2+√(6))

Attenzione: dobbiamo tenere in considerazione il vincolo -1 < x < 1, dunque

f''(x) ≥ 0 → -1 < x ≤ (1)/(2)(-2+√(6)) ; f''(x) < 0 → (1)/(2)(-2+√(6)) < x < 1

Concentriamoci ora nell'intervallo x < -1 ∨ x > 1 sul quale la derivata seconda è

f''(x) = 2e^(2x)(2x^2+4x-1)

Studiamone il segno impostando la disequazione

f''(x) ≥ 0

che è a sua volta equivalente alla disequazione di secondo grado

2x^2+4x-1 ≥ 0 → x ≤ (1)/(2)(-2-√(6)) ∨ x ≥ (1)/(2)(-2+√(6))

ed anche in questo caso non dobbiamo perdere di vista il vincolo fissato, ossia x < -1 ∨ x > 1.

Traiamo le dovute conclusioni: complessivamente la derivata seconda f''(x) è

- positiva negli intervalli

(-∞, (1)/(2)(-2-√(6))) e in (1,+∞)

- negativa negli intervalli

((1)/(2)(-2-√(6)),-1) e in ((1)/(2)(-2+√(6)), 1)

- nulla nei punti

x = (1)/(2)(-2-√(6)) ∨ x = (1)/(2)(-2+√(6))

pertanto la funzione f(x):

- è convessa negli intervalli

(-∞, (1)/(2)(-2-√(6))) e in (1,+∞)

- è concava negli intervalli

((1)/(2)(-2-√(6)),-1) e in ((1)/(2)(-2+√(6)), 1)

- ha due punti di flesso

x = (1)/(2)(-2-√(6)) e x = (1)/(2)(-2+√(6))

Per il grafico, vedi qui: grafico online.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Yul
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