Procedimento calcolo limiti esponenziali

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Procedimento calcolo limiti esponenziali #8402

beps92

Cerchio

Ciao, guardando la soluzione del limite di una funzione esponenziale, proposta dal mio libro, mi è venuto un dubbio

$\lim_{x\to+\infty}(3^{x^2}-(3^x)^2)= \lim_{x\to+\infty}3^{2x}(3^{(x^2-2x)}-1)$

e fin qua tutto ok. Poi al passaggio dopo lui scrive $+\infty$ come avesse semplicemente sostituito. Ma, sostituendo all'esponente viene una forma indeterminata infinito meno infinito, o no?

$\lim_{x\to+\infty}3^{2x}(3^{(x^2-2x)}-1)=3^{2\infty}(3^{(\infty^2-2\infty)}-1)=f.i.?$

come la si risolve?
Grazie!

Re: Procedimento calcolo limiti esponenziali #8416

frank094

Maestro

Il limite da calcolare è

$\lim_{x\to +\infty}(3^{x^2}-(3^{x})^{2})=$

e il suo risultato si ottiene utilizzando a dovere l'algebra degli infiniti e infinitesimi.

È fin da subito chiaro che il limite va a più infinito perché il primo termine va ad infinito più velocemente del secondo. Ad ogni modo mediante le proprietà delle potenze il limite diventa

$=\lim_{x \to + \infty} 3^{2x} ( 3^{x^2 - 2x} - 1 )=(\bullet)$

Concentriamoci sul limite dell'esponente

$\\ \lim_{x \to + \infty}(x^2 - 2x) = \\ \\ = \lim_{x \to + \infty} x(x - 2) =[+\infty\cdot (+\infty)] + \infty$

Con questa informazione possiamo calcolare il limite dato dalla traccia, infatti:

$(\bullet)=[3^{+\infty}\cdot (3^{+\infty}-1)]= [+\infty\cdot (+\infty)]=+\infty$

PS: ti lascio un link che ti tornerà sicuramente utile, quello degli esercizi risolti sui limiti con forma indeterminata infinito meno infinito.

Ringraziano: Omega, Pi Greco, beps92

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