Procedimento calcolo limiti esponenziali #8402

avt
beps92
Cerchio
Ciao, guardando la soluzione del limite di una funzione esponenziale, proposta dal mio libro, mi è venuto un dubbio

lim_(x → +∞)(3^(x^2)-(3^x)^2) = lim_(x → +∞)3^(2x)(3^(x^2-2x)-1)

e fin qua tutto ok. Poi al passaggio dopo lui scrive +∞ come avesse semplicemente sostituito. Ma, sostituendo all'esponente viene una forma indeterminata infinito meno infinito, o no?

lim_(x → +∞)3^(2x)(3^(x^2-2x)-1) = 3^(2∞)(3^(∞^2-2∞)-1) = f.i.?

come la si risolve?
Grazie!
 
 

Re: Procedimento calcolo limiti esponenziali #8416

avt
frank094
Sfera
Il limite da calcolare è

lim_(x → +∞)(3^(x^2)-(3^(x))^(2)) =

e il suo risultato si ottiene utilizzando a dovere l'algebra degli infiniti e infinitesimi.

È fin da subito chiaro che il limite va a più infinito perché il primo termine va ad infinito più velocemente del secondo. Ad ogni modo mediante le proprietà delle potenze il limite diventa

= lim_(x → +∞) 3^(2x) (3^(x^2-2x)-1) = (•)

Concentriamoci sul limite dell'esponente

 lim_(x → +∞)(x^2-2x) = lim_(x → +∞) x(x-2) = [+∞·(+∞)]+∞

Con questa informazione possiamo calcolare il limite dato dalla traccia, infatti:

(•) = [3^(+∞)·(3^(+∞)-1)] = [+∞·(+∞)] = +∞

PS: ti lascio un link che ti tornerà sicuramente utile, quello degli esercizi risolti sui limiti con forma indeterminata infinito meno infinito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, beps92
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Os