Dominio di una funzione con logaritmi e fratta

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Dominio di una funzione con logaritmi e fratta #76444

avt
LilliLalla
Punto
Buon pomeriggio! Ho un dubbio su come svolgere il dominio di una funzione fratta con dei logaritmi. Ho letto e riletto la sezione sul sito per quanto riguarda il dominio di una funzione, ma il dubbio persiste ancora.

Trovare l'insieme di esistenza della funzione

f(x)=\frac{2\log(x)+1}{x\log(x)}


So bene che il denominatore deve essere posto diverso da zero, ma so anche che l'argomento del logaritmo deve essere posto maggiore di zero. Verrebbe quindi:

x\neq 0,\ x\neq 1,\ x> 0

Per sicurezza, ho controllato sul calcolatore di dominio online del sito, ma mi dice:

x>0 \vee 0<x<1

Perché? Potreste spiegarmi dove non ho capito?

Grazie mille per la disponibilità!
 
 

Dominio di una funzione con logaritmi e fratta #76449

avt
Omega
Amministratore
Ciao LilliLalla,

qui il problema è più che altro di interpretazione.

Se consideriamo la funzione

f(x)=\frac{2\log(x)+1}{x\log(x)}

in accordo con le regole per il dominio, dobbiamo richiedere che:

- l'argomento del logaritmo sia positivo, ossia x>0;

- il denominatore sia diverso da zero, vale a dire x\log(x)\neq 0.

L'ultima condizione, in accordo con la legge di annullamento del prodotto, si traduce in

x\neq 0\ \wedge\ \log(x)\neq 0

La seconda eventualità coincide con un'equazione logaritmica elementare di immediata risoluzione

x\neq 0\ \wedge\ x\neq 1

Tutte le condizioni vanno messe a sistema

\begin{cases}x>0\\ \\ x\neq 0\ \wedge\ x\neq 1\end{cases}

dato il significato del connettivo logico \wedge (e) e dato il significato di sistema, esso equivale a

\begin{cases}x>0\\ \\ x\neq 0\\ \\ x\neq 1\end{cases}

ossia

Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\ :\ 0<x<1\ \vee\ x>1\}

che nella notazione degli intervalli si traduce in

Dom(f)=(0,1)\ \cup\ (1,+\infty)

Tale risultato coincide con quello fornito dal tool per il dominio online (che non è quello che hai riportato) inserendo come input

(2log(x)+1)/(xlog(x))
Ringraziano: demebi, LilliLalla, salvopippo2

Dominio di una funzione con logaritmi e fratta #76454

avt
LilliLalla
Punto
Grazie infinite! Adesso mi trovo con il ragionamento, finalmente! Purtroppo questo esercizio mi ha causato parecchi dubbi ma non riuscivo a trovare una risposta da sola. Mi sei stato parecchio d'aiuto e ti ringrazio moltissimo!
Ringraziano: Omega
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Os