Numero fratto infinito #75520

avt
GabriX0122
Punto
Quanto fa un numero fratto infinito? Se in un limite ho un numero fratto infinito come faccio a capire quanto vale?
 
 

Numero fratto infinito #75534

avt
Omega
Amministratore
Chiedersi quanto vale un numero fratto infinito ha senso solo nell'ambito dell'Algebra di infiniti e infinitesimi, inoltre il risultato varia in base:

- al numeratore, che può essere un numero positivo, negativo o nullo;

- al denominatore, che potrebbe essere più infinito o meno infinito.

Per farla breve, chiedersi quanto vale un numero fratto infinito vuol dire domandarsi quanto valgono i seguenti limiti:

\\ \lim_{x\to +\infty} \frac{c}{x} \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty} \frac{c}{x}

dove c può essere un numero positivo (c>0), negativo (c<0), o nullo (c=0).

Distinguiamo allora i seguenti tre casi.

1) Numero positivo fratto infinito

Se c è un numero maggiore di zero (c>0) allora

\\ \lim_{x\to +\infty} \frac{c}{x} = 0^{+} \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty} \frac{c}{x} = 0^{-}

Per capire da dove vengono fuori questi risultati è sufficiente osservare il grafico della funzione y=1/x.

Infatti, per le regole sul calcolo dei limiti

 \\ \lim_{x\to +\infty} \frac{c}{x}= c \cdot \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}=0^+ \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty} \frac{c}{x}= c \cdot \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x}=0^-

Quindi se non si ricorda a memoria quanto fa un numero positivo fratto infinito è sufficiente far riferimento al grafico della funzione y=1/x.

2) Numero negativo fratto infinito

Nel caso in cui c sia un numero minore di zero (c<0), allora

\\ \lim_{x\to +\infty} \frac{c}{x} = 0^{-} \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty} \frac{c}{x} = 0^{+}

Anche in questo caso, poiché c<0:

 \\ \lim_{x\to +\infty} \frac{c}{x}= |c| \cdot \lim_{x\to +\infty} \frac{-1}{x}=0^+ \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty} \frac{c}{x}= |c| \cdot \lim_{x\to -\infty} \frac{-1}{x}=0^-

Quindi il valore di questi due limiti si ricava immediatamente osservando il grafico della funzione y=-1/x che è la funzione opposta della funzione y=1/x.

Pertanto il grafico di y=-1/x è il simmetrico rispetto all'asse x del grafico di y=1/x.

3) Zero fratto infinito

Se c=0 non c'è alcun calcolo da fare, perché abbiamo uno zero esatto a numeratore e quindi il risultato è zero a prescindere

\\ \lim_{x\to +\infty} \frac{0}{x} = 0 \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty} \frac{0}{x} = 0

---

Per completare il quadro possiamo considerare il caso di un infinitesimo fratto infinito, che nel contesto dei limiti viene chiamato con abuso di linguaggio zero su infinito e che non va confuso con il caso 3).

\\ \lim_{x\to +\infty} \frac{0^+}{x} = 0^+ \\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty} \frac{0^-}{x} = 0^- \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty} \frac{0^+}{x} = 0^- \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty} \frac{0^-}{x} = 0^+

Ricadere nella forma zero fratto infinito non è così raro come può sembrare. Ad esempio, nel calcolo del seguente limite

\lim_{x\to -\infty} \frac{3^x}{x}

si ricade proprio nella forma

\frac{0^+}{-\infty}=0^-

Queste e molto altre regole le trovi riassunte nella nostra lezione su infiniti e infinitesimi. emt
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