Numero fratto infinito

Quanto fa un numero fratto infinito? Se in un limite ho un numero fratto infinito come faccio a capire quanto vale?

Chiedersi quanto vale un numero fratto infinito ha senso solo nell'ambito dell'Algebra di infiniti e infinitesimi, inoltre il risultato varia in base:

- al numeratore, che può essere un numero positivo, negativo o nullo;

- al denominatore, che potrebbe essere più infinito o meno infinito.

Per farla breve, chiedersi quanto vale un numero fratto infinito vuol dire domandarsi quanto valgono i seguenti limiti:



dove può essere un numero positivo , negativo , o nullo .

Distinguiamo allora i seguenti tre casi.

1) Numero positivo fratto infinito

Se è un numero maggiore di zero allora



Per capire da dove vengono fuori questi risultati è sufficiente osservare il grafico della funzione y=1/x.

Infatti, per le regole sul calcolo dei limiti



Quindi se non si ricorda a memoria quanto fa un numero positivo fratto infinito è sufficiente far riferimento al grafico della funzione y=1/x.

2) Numero negativo fratto infinito

Nel caso in cui sia un numero minore di zero , allora



Anche in questo caso, poiché :



Quindi il valore di questi due limiti si ricava immediatamente osservando il grafico della funzione y=-1/x che è la funzione opposta della funzione y=1/x.

Pertanto il grafico di y=-1/x è il simmetrico rispetto all'asse x del grafico di y=1/x.

3) Zero fratto infinito

Se non c'è alcun calcolo da fare, perché abbiamo uno zero esatto a numeratore e quindi il risultato è zero a prescindere



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Per completare il quadro possiamo considerare il caso di un infinitesimo fratto infinito, che nel contesto dei limiti viene chiamato con abuso di linguaggio zero su infinito e che non va confuso con il caso 3).



Ricadere nella forma zero fratto infinito non è così raro come può sembrare. Ad esempio, nel calcolo del seguente limite



si ricade proprio nella forma



Queste e molto altre regole le trovi riassunte nella nostra lezione su infiniti e infinitesimi.