Intersezione con asse x in un unico punto

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Intersezione con asse x in un unico punto #75130

avt
ArmoniaMusicae
Cerchio
Buongiorno, dovrei dimostrare che una funzione interseca l'asse delle x in un unico punto. Più precisamente:

si dimostri che il grafico della funzione y=x^5+x^3+1 interseca l'asse x in un solo punto.

L'esercizio si trova nel paragrafo del Teorema di Rolle ed è sottinteso che si risolva utilizzando questo teorema, io ho proceduto in questo modo.

Ho calcolato

\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty

\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=-\infty

Dunque la funzione interseca l'asse x in almeno un punto. Adesso devo dimostrare che il punto è unico.
Suppongo per assurdo che i punti siano due a,b .

Poiché, per ipotesi, si trovano entrambi sull'asse x, si ha che f(a)=f(b)=0
Inoltre la funzione è derivabile e continua in tutto \mathbb{R} quindi nell'intervallo [a;b] sono soddisfatte le condizioni del teorema di Rolle e necessariamente deve esserci un punto c tale che

f'(c)=0

Calcolo la derivata prima ed ottengo f'(x)=5x^4+3x^2 e la pongo uguale a 0.
Poiché sto ragionando per assurdo mi aspetto che non ci siano risultati e che quindi l'ipotesi iniziale sia sbagliata e conseguentemente i punti non siano 2 e che necessariamente quindi il punto di intersezione sia unico. Ma purtroppo ottengo la soluzione x=0. In cosa sbaglio?

Ancora grazie! emt
 
 

Intersezione con asse x in un unico punto #75191

avt
Omega
Amministratore
Ciao emt

Prima di procedere, ritengo di poter affermare che

L'esercizio si trova nel paragrafo del Teorema di Rolle ed è sottinteso che si risolva utilizzando questo teorema, io ho proceduto in questo modo

un'osservazione di questo tipo lascia spesso il tempo che trova. Non a caso il teorema di Rolle qui non serve. Il fatto che questo esercizio vada risolto con Rolle potrebbe essere una tua supposizione (non volendoti mancare di rispetto) sbagliata.

Per dimostrare che la funzione

y=x^5+x^3+1

interseca l'asse delle x in un unico punto possiamo partire dalla tua osservazione

\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty

\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=-\infty

osservazione che però si rivela insufficiente a meno di non aggiungere che siamo in presenza di una funzione continua sull'intero asse reale. emt

Se studiamo la monotonia della funzione tramite il segno della derivata prima (i.e. l'usuale metodo per determinare i massimi e i minimi) vediamo che

f'(x)=5x^4+3x^2

quindi risolviamo f'(x)>0

5x^4+3x^2>0\ \to\ x^2(5x^2+3)>0\ \to\ \forall x\neq 0

dove il fattore x^2 è positivo \forall x\neq 0, mentre il fattore 5x^2+3 è una somma un quadrato e di un numero positivo e dunque è positivo \forall x\in\mathbb{R}.

Dal segno della derivata prima deduciamo che f(x) è monotona strettamente crescente su (-\infty,0)\cup(0,+\infty).

Che succede in x=0 ? Niente di che, abbiamo a che fare con un punto di flesso a tangente orizzontale, perché nell'intorno di x=0 non abbiamo una variazione sul segno della derivata (è positivo-positivo).

In realtà, la funzione f(x) è strettamente crescente sull'intero asse reale.

Quanto vale la funzione in x=0 ? Risulta f(0)=1.

Per x>0 la funzione è strettamente crescente, quindi non possono esservi intersezioni con l'asse delle x.

Per x<0 la stretta monotonia impone che sia presente una ed una sola intersezione con l'asse delle x. Fine. emt


PS:

Dunque la funzione interseca l'asse x in almeno un punto. Adesso devo dimostrare che il punto è unico.
Suppongo per assurdo che i punti siano due a,b.

così facendo, stai cercando di dimostrare che sono presenti 1 oppure n\geq 3 intersezioni con l'asse delle x.
Ringraziano: ArmoniaMusicae

Intersezione con asse x in un unico punto #75196

avt
ArmoniaMusicae
Cerchio
Grazie! Io cercavo di risolverlo in questo modo perchè subito prima di questo esercizio ce ne sta uno che si risolve come avevo impostato io il problema... e ti dirò che anche io ero perplesso sul fatto che dire che non ha 2 soluzioni corrisponde a dire che ne ha 1. Cioè io mi trovo d'accordo con quello che dici tu e cioè che se dimostro che non ha due soluzioni non necessariamente ne ha una! Detto questo ti ringrazio ancora ed utilizzerò il tuo metodo emt
Ringraziano: Omega
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Os