Segni nei limiti destro e sinistro

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Segni nei limiti destro e sinistro #75110

avt
Sara815
Punto
Ciao! Vorrei chiarire un dubbio sui limiti da sinistra e da destra: quando calcolo il valore di un limite da destra o da sinistra il segno del risultato può cambiare. Perché?

Ad esempio

\lim_{x\to(-1)^-}\frac{x-3}{x^{2}-x-2}=-\infty

\lim_{x\to(-1)^+}\frac{x-3}{x^{2}-x-2}=+\infty

Devo dedurre che il segno dopo il valore influisca, o tralascio qualcosa?

Quando calcolo il limite della funzione logaritmica f(x)=\ln(x) per x\to 0^+ il risultato è -\infty, e questo mi torna solo perché conosco il grafico del logaritmo...

Altrimenti come potrei capirlo solo attraverso i calcoli? Perché non sempre conosco il grafico di una funzione.

Grazie per la disponibilità! emt
 
 

Segni nei limiti destro e sinistro #75156

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il limite

\lim_{x\to(-1)}\frac{x-3}{x^{2}-x-2}

e proviamo a procedere per sostituzione diretta

=\left[\frac{-4}{1+1-2}\right]=\left[\frac{-4}{0}\right]

Intuiamo che il limite non genera una forma indeterminata, ma nel contempo capiamo che è necessario calcolare i due limiti da sinistra e da destra perché a denominatore è presente un infinitesimo di cui dobbiamo specificare il segno.

In pratica dobbiamo calcolare

\\ \lim_{x\to(-1)^-}\frac{x-3}{x^{2}-x-2} \\ \\ \\ \lim_{x\to(-1)^+}\frac{x-3}{x^{2}-x-2}

e ragionare con le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi.

Come dobbiamo comportarci?

Quando ci troviamo a dover calcolare i limiti da sinistra e da destra di una funzione razionale che non generano una forma indeterminata, il primo passo consiste nello scomporre il numeratore ed il denominatore in modo da individuare eventuali termini che generano infinitesimi.

In questo modo saremo in grado di individuare il segno di tali infinitesimi a seconda che il limite vada calcolato da sinistra o da destra. emt

Scomponiamo il denominatore: possiamo usare la regola di scomposizione somma per prodotto

x^2-x-2=(x-2)(x+1)

Dalla scomposizione si capisce che il colpevole è il binomio x+1.

Riscriviamo i due limiti da sinistra e da destra

\\ \lim_{x\to(-1)^-}\frac{x-3}{(x-2)(x+1)} \\ \\ \\ \lim_{x\to(-1)^+}\frac{x-3}{(x-2)(x+1)}

ed infine ragioniamo con gli infiniti e gli infinitesimi, separatamente.

Consideriamo il limite sinistro

\lim_{x\to(-1)^-}\frac{x-3}{(x-2)(x+1)}=

e scriviamo a parte l'espressione della funzione coinvolta sostituendo (-1)^-. In questo contesto, come spiegato nella lezione correlata, ragioniamo con delle "pseudouguaglianze"

=\left[\frac{(-1)^--3}{((-1)^--2)((-1)^-+1)}\right]=

Nei termini che non generano l'infinitesimo, il fatto che si stia calcolando il limite da sinistra è ininfluente

=\left[\frac{-1-3}{(-1-2)((-1)^-+1)}\right]=

Nel caso del termine che genera l'infinitesimo, dobbiamo ragionare quantitativamente: (-1)^- significa a sinistra di -1, quindi (-1)^-+1=0^{-} (possiamo ragionare per traslazione)

=\left[\frac{-4}{(-3)(0^-)}\right]

Tenendo conto dei segni abbiamo a che fare con un rapporto del tipo

\frac{\mbox{ costante positiva }}{0^-}

e grazie alle regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi concludiamo che

\lim_{x\to(-1)^-}\frac{x-3}{(x-2)(x+1)}=-\infty


Un ragionamento del tutto analogo nel caso del limite da destra

\\ \lim_{x\to(-1)^+}\frac{x-3}{(x-2)(x+1)}= \\ \\ \\ = \left[\frac{-4}{(-3)\cdot(0^{+})}\right]=+\infty

Osserviamo che il limite destro e il limite sinistro sono infiniti discordi, deduciamo pertanto che il limite bilatero non esiste.
Ringraziano: Sara815

Segni nei limiti destro e sinistro #75170

avt
Sara815
Punto
Grazie mille!
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Os