Intersezione con gli assi di una funzione logaritmica

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Intersezione con gli assi di una funzione logaritmica #74300

avt
Iosephus
Punto
Ragazzi, sto cercando di calcolare le intersezioni con gli assi per una funzione logaritmica. Ho la funzione:

y=\ln[(2-x)^2(x+1)]

ed arrivato al momento dell'intersezione dell'asse delle x ottengo, ponendo y=0:

0=\ln[(2-x)^2(x+1)]

Semplifico tutto per e, ottenendo

e^0=e^{\ln[(2-x)^2(x+1)]}.

Da cui:

1=(2-x)^2(x+1)

ovvero

x^3-3x^2+3=0

A questo punto non riesco più ad andare avanti, in quanto con Ruffini non riesco a scomporre questa equazione di terzo grado, e dunque non so ancora dove la funzione interseca l'asse delle x, e nemmeno se lo interseca.

Potete darmi una mano? Vi ringrazio in anticipo per le eventuali risposte.
 
 

Intersezione con gli assi di una funzione logaritmica #74378

avt
Galois
Coamministratore
Ciao losephus emt

Abbiamo la funzione

y=\ln[(2-x)^2(x+1)]

Innanzitutto osserviamo che l'insieme di definizione è

D=(-1,2) \cup (2,+\infty)

Fatto questo vogliamo trovare le intersezioni con gli assi. In particolare ti creano problemi le intersezioni con l'asse x.

Come hai ben fatto, per trovare tali intersezioni, dobbiamo risolvere l'equazione logaritmica

\ln[(2-x)^2(x+1)]=0

Permettimi di dire che, oltre ad aver fatto un giro inutile, ti sei espressa davvero male

Semplifico tutto per e, ottenendo


non ha alcun senso, semmai sarebbe corretto dire che si passa all'esponenziale. Ad ogni modo hai fatto un giro che non serve. Basta infatti ricordare che

\ln(1)=0

in modo da poter scrivere:

\ln[(2-x)^2(x+1)]=\ln(1)

E quindi avere

(2-x)^2(x+1)=1

Sviluppando il quadrato di binomio e facendo qualche conticino si arriva proprio a

x^3-3x^2+3=0

Volendo applicare la regola di Ruffini non si arriva da nessuna parte.

Infatti, gli eventuali zeri razionali del polinomio

P(x)=x^3-3x^2+3

devono essere ricercati, in questo caso, tra i divisori del termine noto che sono

\{\pm 1, \pm 3\}

Nessuno di essi annulla però P(x), ragion per cui la nostra equazione non ha radici razionali.

L'unica strada percorribile, a questo punto, è il metodo grafico, ovvero scrivere l'equazione

x^3-3x^2+3=0

come

x^3=3x^2-3

ed andare a vedere se e dove si intersecano le funzioni

y=x^3 \ \mbox{e} \ y=3x^2-3

Le ascisse dei punti di intersezione (che dovranno essere trovati col teorema di bisezione o col teorema degli zeri) saranno gli zeri della nostra equazione cercati.

Chiediamoci: vale la pena fare tutto questo?

Personalmente ritengo che non sia il caso, il gioco non vale la candela. Consiglierei quindi di lasciar perdere l'intersezione con l'asse x e procedere con lo studio di funzione.

Calcolando i limiti agli estremi del dominio, ovvero trovando gli (eventuali) asintoti e gli (eventuali) punti di massimo e di minimo vedrai che le intersezioni con l'asse x verranno fuori da sole.. Certo, non saranno precise, ma ricordiamoci che noi dobbiamo tracciare il grafico intuitivo della funzione emt

Nel nostro caso abbiamo infatti che (lascio a te il calcolo)

\lim_{x \to -1^+}{f(x)}=-\infty

\lim_{x \to 2^+}{f(x)}=\lim_{x \to 2^+}{f(x)}=-\infty

da cui deduciamo che

x=-1 \mbox{ e } x=2 sono due asintoti verticali, il primo dei quali è un asintoto verticale destro.

Inoltre

\lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty

Infine si ha che

(0, \log(4))

(che poi è proprio il punto di intersezione con l'asse y) è un punto di massimo relativo.

Con sole queste informazioni possiamo raggiungere il nostro scopo, ovvero tracciare il grafico della nostra funzione:

grafico con log


Come puoi vedere quindi è inutile perdere tempo a calcolare le intersezioni con gli assi a meno che, ovviamente, non sia immediato o espressamente richiesto emt
Ringraziano: Omega, Iosephus
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Os