Dominio di una funzione fratta con due radici

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Dominio di una funzione fratta con due radici #72804

avt
agc
Punto
Buongiorno, ho un problema con lo studio del dominio di una funzione fratta con due radici

y=\frac{1-\sqrt{25-x^{2}}}{\sqrt{x+3}-1}


Ho applicato la regola secondo cui il denominatore deve essere diverso da zero e quella secondo cui il radicando (essendo qui radice di 2 quindi pari) deve essere sempre maggiore e uguale a 0.

Il testo del libro dà come soluzione

\{-3\le x<-2\}\cup \{-2<x \le 5\}

Anch'io ottengo che la funzione esiste in questo dominio ma mi ritrovo anche che la x esiste per valori minori di -5. Sapete dirmi dove sbaglio?

Ringrazio in anticipo per l'aiuto. emt
 
 

Dominio di una funzione fratta con due radici #72814

avt
Galois
Coamministratore
Ciao agc emt

Se non scrivi quello che hai fatto specificando i vari passaggi è impossibile per noi dirti dove sbagli emt

Per trovare il dominio di quella funzione, come ben dici, devi imporre che sia:

\begin{cases}25-x^2 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \\ \sqrt{x+3}-1 \neq 0\end{cases}

La prima è una disequazione di secondo grado soddisfatta per

-5\le x \le 5

la seconda è una disequazione di primo grado verificata per

x>-3

Per quanto riguarda la terza condizione basta risolvere l'equazione irrazionale

\sqrt{x+3}-1 = 0

ed escludere i valori trovati

Poiché tale disequazione è soddisfatta per

x=-2

\sqrt{x+3}-1 \neq 0 \iff x \neq 2

Il nostro sistema di disequazioni diventa quindi

\begin{cases}-5 \le x \le 5 \\ x \ge -3 \\ x \neq 2\end{cases}

L'intersezione tra queste tre soluzioni (vedi lezione linkata sui sistemi di disequazioni)

è data da

dominio funz


Poiché abbiamo tre condizioni dobbiamo vedere in quali intervalli sono comprese "tre linee". Tali intervalli sono

[-3,-2) \cup (-2,5]

che rappresenta il dominio della nostra funzione
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby

Re: Dominio di una funzione fratta con due radici #72817

avt
agc
Punto
Grazie mille per la spiegazione Galois. Mi son resa conto che stavo erroneamente considerando anche i valori minori di -5 sbadatamente, dimenticando che non devo guardare dov'è positiva bensì dove vengono verificate le tre condizioni contemporaneamente. Errore di distrazione. Ti ringrazio moltissimo.
Ringraziano: Galois
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Os