Calcolo dei limiti se possibile con limiti notevoli

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Calcolo dei limiti se possibile con limiti notevoli #72674

avt
Renofranco
Punto
Ciao, avrei bisogno di sapere come svolgere questi 2 limiti (che presentano una forma indeterminata) attraverso l'uso di limiti notevoli se possibile.

\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{\tan(x)}{x}+x^{\frac{1}{\ln(7x)}}\right)

Allora ho calcolato la prima parte del limite

\lim_{x\to 0^+} \frac{\tan(x)}{x}

che risulta tendere a 1, perché si può riscrivere come:

\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin(x)}{x}\frac{1}{\cos(x)}

Per il secondo termine non so come procedere.

Grazie.
 
 

Re: Calcolo dei limiti se possibile con limiti notevoli #72686

avt
Omega
Amministratore
Ciao Renofranco,

prima di procedere ti faccio notare che ho rimosso il secondo esercizio, in accordo con le linee guida del Forum.

Per quanto riguarda il limite

\lim_{x\to 0^+}\left[\frac{\tan(x)}{x}+x^{\frac{1}{\ln(7x)}}\right]=

possiamo passare alla somma dei limiti dei due addendi grazie ad una nota regola dell'Algebra dei limiti, e ok.

=\lim_{x\to0^+}\frac{\tan(x)}{x}+\lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\ln(7x)}}

le tue considerazioni relative al primo addendo sono corrette. Tu hai usato la definizione di tangente e ti sei ricondotto al limite notevole del seno: in pratica hai ricavato il limite notevole della tangente quello che alcuni danno direttamente per buono (scelta libera - vedi tabella dei limiti notevoli)

\lim_{x\to 0^+}\frac{\tan(x)}{x}=1


Il limite del secondo addendo

\lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\ln(7x)}}

non richiede alcun limite notevole. Per calcolarlo basta ricorrere all'identità y=e^{\ln(y)}, valida a patto che sia y>0

\lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\ln(7x)}}=\lim_{x\to 0^+}e^{ \ln\left[x^{\frac{1}{\ln(7x)}}\right] }=

applichiamo una nota proprietà dei logaritmi

=\lim_{x\to 0^+}e^{ \frac{1}{\ln(7x)}\cdot \ln(x) }=

e un'altra ancora

=\lim_{x\to 0^+}e^{ \frac{\ln(x)}{\ln(7)+\ln(x)} }=

Dato che la funzione logaritmica in base e (naturale) diverge a -\infty al tendere di x\to 0^{+}, possiamo calcolare il limite del rapporto all'esponente mediante le regole del confronto tra infiniti.

In parole povere nel denominatore tralasciamo l'addendo \ln(7), che è una costante ininfluente nella somma con un infinito.

=\lim_{x\to 0^+}e^{\frac{\ln(x)}{\ln(x)}}=e^1

Tornando al limite originario concludiamo che esso vale

\lim_{x\to 0^+}\left[\frac{\tan(x)}{x}+x^{\frac{1}{\ln(7x)}}\right]=1+e
Ringraziano: Ifrit, Renofranco, Julien, GiuliaZandonadi
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