Problema di geometria analitica con i limiti

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Problema di geometria analitica con i limiti #72567

avt
Renofranco
Punto
Ciao, avrei bisogno di aiuto per questo problema di Geometria Analitica sulla parabola con i limiti.

Considera la parabola \gamma con l'asse coincidente con l'asse y, avente come vertice il punto V (0;-4) e passante per A (4;0). Traccia la retta t tangente in A, considera un punto P sull'arco AV di \gamma e, indicata con Q la sua proiezione su t calcola:

\lim_{P\to A} \frac{PQ}{PA}

Il risultato è 0.


Sono riuscito a trovare solamente l'equazione della parabola e della retta, ma poi non so come proseguire.

Equazione della parabola:

y=\frac{1}{4}x^{2}-4

Equazione della retta:

y-2x+8=0.
 
 

Re: Problema di geometria analitica con i limiti #72621

avt
Galois
Coamministratore
Eccoci qua emt

Ho preso visione della correzione del testo e l'ho sostituito nel messaggio principale.

Veniamo ora a noi emt

Come prima cosa dobbiamo determinare l'equazione della parabola avente come asse di simmetria l'asse y e vertice nel punto

V(-4,0)

L'equazione della parabola è proprio

\gamma: \ y=\frac{1}{4}x^2-4

quindi non mi dilungo oltre.

Anche la retta tangente alla parabola nel suo punto A(4,0) è corretta. Essa ha proprio equazione

t: \ y-2x+8=0

Veniamo ora al punto saliente. Dobbiamo innanzitutto prendere un punto P(x_P, y_P) appartenente alla parabola ed in particolare che stia sull'arco AV

Ora, poiché il punto P appartiene alla parabola le sue coordinate ne devono soddisfare l' equazione, ovvero il punto P avrà coordinate del tipo

P\left(x_P, \ \frac{1}{4}x_P^2-4\right)

Dovendo inoltre tale punto appartenere all'arco AV, con

V(0,-4)

A(4,0)

la sua ascissa x_P sarà soggetta alle seguenti limitazioni

0<x_P<4

Chiarito questo, dovendo calcolare, alla fine

\lim_{P \to A}{\frac{PQ}{PA}}

dobbiamo trovare la lunghezza dei segmenti PQ \ \mbox{e} \ PA

Utilizzando la formula della distanza tra due punti abbiamo che

PA=\sqrt{(x_P-x_A)^2+(y_P-y_A)^2}

dove

x_P rimarrà incognito,
y_P=\frac{1}{4}x_P^2-4
x_A=4
y_A=0

Andando a sostituire tali valori e facendo qualche conticino abbiamo

PA=\frac{1}{4}\sqrt{(x_P-4)^2(x_P^2+8x_P+32)}

Per trovare invece PQ, essendo Q la proiezione ortogonale del punto P sulla retta t, ci basta ricorrere alla formula per la distanza punto retta.

Lascio a te i conti. Dovresti trovare

\mbox{dist}[P, t] = \frac{(x_P-4)^2}{4\sqrt{5}}

Abbiamo quindi

\frac{PQ}{PA}=\frac{\frac{(x_P-4)^2}{4\sqrt{5}}}{\frac{1}{4}\sqrt{(x_P-4)^2(x_P^2+8x_P+32)}}

Se il punto P tende al punto A vuol dire che l'ascissa x_P del punto P tende all'ascissa x_A=4 del punto A.

Dobbiamo quindi calcolare

\lim_{x\to 4}{\frac{\frac{(x_P-4)^2}{4\sqrt{5}}}{\frac{1}{4}\sqrt{(x_P-4)^2(x_P^2+8x_P+32)}}}

che è, indubbiamente, uguale a zero emt
Ringraziano: Omega, Renofranco
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