Problema di geometria analitica con i limiti

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#72567
avt
Renofranco
Punto

Ciao, avrei bisogno di aiuto per questo problema di Geometria Analitica sulla parabola con i limiti.

Considera la parabola γ con l'asse coincidente con l'asse y, avente come vertice il punto V (0;−4) e passante per A (4;0). Traccia la retta t tangente in A, considera un punto P sull'arco AV di γ e, indicata con Q la sua proiezione su t calcola:

lim_(P → A) (PQ)/(PA)

Il risultato è 0.

Sono riuscito a trovare solamente l'equazione della parabola e della retta, ma poi non so come proseguire.

Equazione della parabola:

y = (1)/(4)x^(2)−4

Equazione della retta:

y−2x+8 = 0.

#72621
avt
Galois
Amministratore

Eccoci qua emt

Ho preso visione della correzione del testo e l'ho sostituito nel messaggio principale.

Veniamo ora a noi emt

Come prima cosa dobbiamo determinare l'equazione della parabola avente come asse di simmetria l'asse y e vertice nel punto

V(−4,0)

L'equazione della parabola è proprio

γ: y = (1)/(4)x^2−4

quindi non mi dilungo oltre.

Anche la retta tangente alla parabola nel suo punto A(4,0) è corretta. Essa ha proprio equazione

t: y−2x+8 = 0

Veniamo ora al punto saliente. Dobbiamo innanzitutto prendere un punto P(x_P, y_P) appartenente alla parabola ed in particolare che stia sull'arco AV

Ora, poiché il punto P appartiene alla parabola le sue coordinate ne devono soddisfare l' equazione, ovvero il punto P avrà coordinate del tipo

P(x_P, (1)/(4)x_P^2−4)

Dovendo inoltre tale punto appartenere all'arco AV, con

V(0,−4)

A(4,0)

la sua ascissa x_P sarà soggetta alle seguenti limitazioni

0 < x_P < 4

Chiarito questo, dovendo calcolare, alla fine

lim_(P → A)(PQ)/(PA)

dobbiamo trovare la lunghezza dei segmenti PQ e PA

Utilizzando la formula della distanza tra due punti abbiamo che

PA = √((x_P−x_A)^2+(y_P−y_A)^2)

dove

x_P rimarrà incognito,

y_P = (1)/(4)x_P^2−4

x_A = 4

y_A = 0

Andando a sostituire tali valori e facendo qualche conticino abbiamo

PA = (1)/(4)√((x_P−4)^2(x_P^2+8x_P+32))

Per trovare invece PQ, essendo Q la proiezione ortogonale del punto P sulla retta t, ci basta ricorrere alla formula per la distanza punto retta.

Lascio a te i conti. Dovresti trovare

dist[P, t] = ((x_P−4)^2)/(4√(5))

Abbiamo quindi

(PQ)/(PA) = (((x_P−4)^2)/(4√(5)))/((1)/(4)√((x_P−4)^2(x_P^2+8x_P+32)))

Se il punto P tende al punto A vuol dire che l'ascissa x_P del punto P tende all'ascissa x_A = 4 del punto A.

Dobbiamo quindi calcolare

lim_(x → 4)(((x_P−4)^2)/(4√(5)))/((1)/(4)√((x_P−4)^2(x_P^2+8x_P+32)))

che è, indubbiamente, uguale a zero emt

Ringraziano: Omega, Renofranco
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