Teorema di Weierstrass su un intervallo

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Teorema di Weierstrass su un intervallo #72216

avt
Sara.Megan
Punto
Ciao emt ho un problema con la verifica delle ipotesi del teorema di Weierstrass su un intervallo. La funzione è:

f(x)=\frac{x^3}{4 - x^2}

e l'intervallo che mi danno è [-1;0]. L'esercizio chiede di controllare se la funzione verifica il teorema di Weierstrass nell'intervallo indicato.


Io prima di tutto ho trovato il dominio, cioè x\neq \pm 2.

Poi ho sostituito gli estremi dell'intervallo nella funzione data e ho trovato due valori: per x= -1 il valore è f(-1)=-\frac{1}{3}, per x= 0 il valore è f(0)=0.

Poiché entrambi i valori ottenuti appartengono all'intervallo dato, ho creduto di aver dimostrato il teorema. Se i valori non fossero appartenuti all'intervallo, mi sono detta, allora il teorema non sarebbe stato dimostrato. Il problema è che ho provato ad usare lo stesso ragionamento con altre funzioni ma non accadeva la stessa cosa, perché mi capitava di ottenere valori non appartenenti all'intervallo dato e scoprire che in realtà il teorema era verificato.

Dove sbaglio?
 
 

Teorema di Weierstrass su un intervallo #72224

avt
Omega
Amministratore
Ciao Sara emt

La partenza è buona ma purtroppo il metodo applicato non è corretto. Non c'è problema, risolviamo subito... emt

Vogliamo stabilire se la funzione assegnata verifica le ipotesi del teorema di Weierstrass sull'intervallo dato. E allora cominciamo con l'enunciato del teorema (versione per la scuola superiore*):

una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ammette in esso un massimo ed un minimo assoluto.

Quindi, per controllare se la funzione f(x)=\frac{x^3}{4 - x^2} soddisfa le ipotesi del teorema sull'intervallo [-1,0], dobbiamo controllare se valgono le due ipotesi:

1) che la funzione sia continua sull'intervallo [-1,0];

2) che [-1,0] sia un intervallo chiuso e limitato.

Noi non dobbiamo fare altro che stabilire se tali ipotesi sono soddisfatte, è proprio ciò che ci chiede l'esercizio.

In particolare si vede subito che l'intervallo soddisfa l'ipotesi 2), quindi ci occupiamo direttamente di 1).

Verifica dell'ipotesi 1)

La prima cosa da fare è determinare il dominio della funzione f(x)=\frac{x^3}{4 - x^2} che, come hai correttamente osservato, è

Dom(f)=\mathbb{R}-\{\pm 2\}

in notazione degli intervalli ed in modo del tutto equivalente

Dom(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,+2)\cup(+2,+\infty)

Ora ragioniamo. emt Tolti i punti esclusi dal dominio, in cui la funzione non è nemmeno definita, in tutti gli altri punti dell'asse reale essa è definita come una frazione algebrica ossia come un rapporto di polinomi.

In ogni punto dell'asse reale ad eccezione di x=\pm 2 risulta che f(x) è una funzione continua perché soddisfa le seguenti condizioni

- è un rapporto di polinomi, e
- il denominatore non si annulla.

L'esclusione dei punti x=\pm 2 fa sì che f(x) non sia una funzione continua su tutto \mathbb{R}.

Attenzione però: a noi interessa l'intervallo [-1,0], e dato che tale intervallo non contiene alcuno dei punti che generano discontinuità, risulta evidente che la funzione f(x) è continua su [-1,0]


Abbiamo finito: y=f(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass sull'intervallo considerato.


Perché il tuo procedimento non funziona?

Perché confondi l'immagine della funzione con il dominio della funzione. Im(f) e Dom(f) vivono su insiemi distinti:

Dom(f)\subseteq \mathbb{R} con \mathbb{R} inteso come insieme di partenza;

Im(f)\subseteq \mathbb{R} con \mathbb{R} inteso come insieme di arrivo;

e in ogni caso si tratterebbe di considerazioni che non hanno implicazioni dirette sulle ipotesi del teorema, le uniche condizioni che dobbiamo verificare. emt

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* In questa pagina - teorema di Weierstrass - viene fornito l'enunciato nella versione universitaria e nel caso di insiemi reali, nonché la dimostrazione. A puro titolo di cronaca. emt
Ringraziano: Ifrit, Sara.Megan, kelia
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Os