Dominio arcoseno con argomento fratto #71821

avt
trieb91
Punto
Ciao, avrei bisogno di aiuto per il dominio di un arcoseno con argomento fratto. Il problema è che una volta impostato il sistema con le condizioni, non sono in grado di risolverlo.

Determinare il dominio della funzione

f(x)=\arcsin\left(\frac{x+2}{x}\right)

So che devo porre l'argomento dell'arcoseno compreso tra -1 e 1 inclusi, e poi?
 
 

Dominio arcoseno con argomento fratto #71835

avt
Galois
Amministratore
Ciao trieb91,

per trovare il dominio della funzione

f(x)=\arcsin\left(\frac{x+2}{x}\right)

dobbiamo innanzitutto imporre la condizione di esistenza per le frazioni, richiedendo che il denominatore sia diverso da zero.

Poiché la funzione arcoseno è definita a patto che il suo argomento stia nell'intervallo [-1,1], dobbiamo richiedere che sussista la doppia disequazione

-1\le\frac{x+2}{x}\le 1

Attenzione: le due condizioni devono sussistere contemporaneamente, ecco perché costruiamo il sistema misto

\begin{cases}-1\le \displaystyle\frac{x+2}{x} \le 1 \\ \\ x \neq 0 \end{cases}

che equivale al sistema di disequazioni:

\begin{cases} \displaystyle\frac{x+2}{x} \ge -1 \\ \\ \displaystyle\frac{x+2}{x} \le 1 \\ \\ x \neq 0 \end{cases}

Le prime due sono disequazioni fratte: risolviamole partendo dalla prima

\frac{x+2}{x}\ge -1

Portiamo l'uno a primo membro e, dopo qualche conticino, ricaviamo la disequazione fratta

\frac{x+2+x}{x}\ge 0

ossia

\frac{2x+2}{x}\ge 0

Studiamo i segni del numeratore e del denominatore

\\ N\ge 0\ \to \ 2x+2\ge 0 \ \to \ x\ge-1 \\ \\ D>0 \ \to \ x>0

e una volta rappresentata la tabella dei segni, scopriamo che la disequazione è soddisfatta per

x\le -1 \ \vee \ x>0

Dedichiamoci alla seconda disequazione fratta

\frac{x+2}{x}\le 1

che una volta espressa in forma normale si riscrive come

\frac{2}{x}\le 0

Ora, il numeratore è costante e positivo, mentre il denominatore è positivo per x>0, ragion per cui la soluzione della nostra disequazione sarà x<0.

Il nostro sistema è quindi equivalente a:

\begin{cases}x\le -1 \ \vee \ x>0 \\ \\ x<0 \\ \\ x \neq 0 \end{cases}

Rappresentando i risultati su una retta orientata ricaviamo che la soluzione del sistema, nonché il dominio della nostra funzione, è:

Dom(f)=(-\infty, -1]

Ecco fatto.

Nota: il risultato del problema coincide con quello proposto che puoi trovare nella scheda degli esercizi sul dominio.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, lorenzo45654, CarFaby, trieb91

Dominio arcoseno con argomento fratto #71859

avt
trieb91
Punto
Effettivamente sbagliavo il calcolo delle disequazioni in quanto studiavo il segno del numeratore e denominatore senza prima porli maggiore o uguale di 0. Grazie per la spiegazione, gentilissimi come sempre.
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Os