Dimostrare che il numero di Nepero e è irrazionale

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Dimostrare che il numero di Nepero e è irrazionale #71251

avt
F3l1x
Cerchio
Salve ragazzi eccomi qua di nuovo per parlare del numero di Nepero e per chiedervi come dimostrare che e è un numero irrazionale

Studiando l'irrazionalità di e non capisco questo passaggio:

e = \frac{p}{q}\mbox{ con }p ,q \in \mathbb{N}\mbox{ e }q \geq 2

Sostituiamo ad e la seguente definizione:

\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} = e

e otteniamo così

\left ( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} +\frac{1}{2!}+....\right ) = \frac{p}{q}

successivamente si moltiplica ambo i membri per q!

\left ( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} +\frac{1}{2!}+....\right )q! = p \cdot 2 \cdot 3 \cdot ..... \cdot (q-1)

Perché il secondo membro diventa in quel modo?
Poi il primo termine viene riscritto in modo diverso:

\left ( 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{(q-2)!}+\frac{1}{(q-1)!}+\frac{1}{q!}+\frac{1}{(q+1)!}+\frac{1}{(q+2)!}+...\right )q!

Perché?

Avrei altre domande da porvi sempre su questa dimostrazione ma non ho abbastanza tempo adesso, è possibile continuare su questa discussione?
Ringraziano: Kevintumby@gmail.com
 
 

Dimostrare che il numero di Nepero e è irrazionale #71265

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao F3lix, sarebbe meglio che tu inserissi tutta la dimostrazione che e è un numero irrazionale in un solo colpo, così almeno colui che vuole aiutarti (il sottoscritto in questo caso) potrà rispondere in un sol colpo. emt

Per ora rispondo alle domande che hai fatto, inserisci le altre qui di seguito. emt

Partiamo da qui

\left ( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} +\frac{1}{2!}+....\right ) = \frac{p}{q}

Moltiplichiamo membro a membro per il fattoriale di q

\left ( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} +\frac{1}{2!}+....\right )q! = \frac{p}{q}\cdot q!

Per definizione di fattoriale puoi scrivere:

q!=2\cdot 3\cdot ...\cdot (q-1)q

Sostituisci:

\left ( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} +\frac{1}{2!}+....\right )q! = \frac{p}{{\color{red}q}}\cdot  2\cdot 3\cdot ...\cdot (q-1)\color{red}q

Puoi ora dividere per q, ti rimarrà:

\left ( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} +\frac{1}{2!}+....\right )q! = q\cdot  2\cdot 3\cdot ...\cdot (q-1)

Sempre per definizione di fattoriale hai che 0!=1 così come 1!=1 pertanto le frazioni:

\frac{1}{0!}=1\mbox{ e }\frac{1}{1!}=1


\left ( 1 + 1 +\frac{1}{2!}+....\right )q! = q\cdot  2\cdot 3\cdot ...\cdot (q-1)

Somma i due uni e hai l'espressione che segue ovvero:

\left ( 2 +\frac{1}{2!}+....\right )q! = q\cdot  2\cdot 3\cdot ...\cdot (q-1)
Ringraziano: Omega, F3l1x

Dimostrare che il numero di Nepero e è irrazionale #71502

avt
F3l1x
Cerchio
Continuando dall'ultima formula scritta nel mio messaggio si procede con il prodotto e avremo cosi:

2q!+3\cdot4\cdot...\cdot q + 4\cdot 5\cdot...\cdot q+...+(q-1)\cdot q +q+1+\frac{1}{q+1}+ \frac{1}{(q+1)(q+2)}+...

(1) come è avvenuto questo prodotto?

Successivamente vengono definiti i 3 numeri A,B,C

A = p\cdot2\cdot3\cdot...(q-1)

B = 2q!+3\cdot4\cdot...\cdot q + 4\cdot 5\cdot...\cdot q+...+(q-1)\cdot q + q+1

C = \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+...

Ora possiamo scrivere anche:

 B + C = A

A,B sono interi per definizione. (2) Perché sono interi per definizione?

Se C non è intero siamo arrivati ad un assurdo poiché siamo partiti per ipotesi dalla razionalità di e.

La serie di C è minore della seguente serie:

\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(q+1)^n}-1}

Quindi si ha che :

 C < \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(q+1)^n}-1}

Poi si ottiene il valore massimo della serie che è dato da  q = 1 ma questo valore è escluso perchè  q \geq 2 quindi avremo:

 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(2+1)^n}-1}

 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{3^n}-1}

 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(1-\frac{1}{3})}-1} = \frac{1}{2}

Essendo:

 C < \frac{1}{2}

 C\notin \mathbb{N}

La tesi è dimostrata: il numero di Nepero e è irrazionale.

Dimostrare che il numero di Nepero e è irrazionale #71529

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, iniziamo emt

Nel primo passaggio utilizza la proprietà distributiva per le serie.

\left (2 +\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{q!}+\frac{1}{(q+1)!}+...\right )q!

diventa:

2q!+\frac{q!}{2!}+...+\frac{q!}{q!}+\frac{q!}{(q+1)!}+...

Ricorda che:

q!=1\cdot2\cdot 3\cdot ...\cdot q

(è un prodotto di più fattori consecutivi)

Naturalmente hai che:

\bullet\,\,\frac{q!}{2!}=\frac{1\cdot2\cdot 3\cdot ...\cdot q}{1\cdot 2}=

=3\cdot...\cdot q

\bullet\,\,\frac{q!}{3!}=\frac{1\cdot2\cdot 3\cdot ...\cdot q}{1\cdot 2\cdot 3}=

semplifica 2 e 3

=4 \cdot 5\cdot ...\cdot q=

In generale:

\frac{q!}{k!}= (k+1)\cdot (k+2)\cdot...\cdot q\mbox{ per ogni }k\le q.

Quando k>q tutti i termini al numeratore si semplificano, mentre al denominatore ti rimangono prodotti. Giusto per fare qualche passaggio:

\bullet\,\,\frac{q!}{(q+1)!}=\frac{q!}{(q+1) q!}= \frac{1}{q+1}

\bullet\,\, \frac{q!}{(q+2)!}=\frac{q!}{(q+2)(q+1)q!}= \frac{1}{(q+2)(q+1)}

e così via.

Ora per semplificare le notazioni chiama:

A = p\cdot2\cdot3\cdot...(q-1)

B = 2q!+3\cdot4\cdot...\cdot q + 4\cdot 5\cdot...\cdot q+...+(q-1)\cdot q + q+1

C = \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+...

Scriveremo che:

B+C=A

Nota che A è il prodotto di numeri interi e in quanto tale è un intero.

B è la somma di prodotti di numeri interi e dunque è un numero intero.

Se riusciamo a dimostrare che C non è un intero raggiungiamo l'assurdo.

Per mostrare che esso non è un intero facciamo così:

Facilmente hai che:

(q+1)\le (q+m)\quad\forall m\ge 1\mbox{ intero}

Pertanto:

\overbrace{(q+1)}^{\ge (q+1)}\overbrace{(q+2)}^{\ge (q+1)}...\overbrace{(q+n)}^{\ge q+1}\ge (q+1)^n .

Passando ai reciproci e cambiando verso della disuguaglianza:

\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)\cdot...\cdot (q+n)}\le \frac{1}{(q+1)^n}\quad\forall n

Conseguentemente

\overbrace{\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+...}^{=C}\le \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(q+1)^n}-1

Osserva che

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(q+1)^n}-1= \frac{1}{q}\quad\forall |q+1|>1

È una serie geometrica di ragione \frac{1}{q+1}.

Ovviamente \frac{1}{q} decresce quando all'aumentare di q, di conseguenza per q\ge 2 si ha che il massimo valore che la somma della serie può assumere è quando q=2:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2+1)^n}-1= \frac{1}{2}

Pertanto C<\frac{1}{2} e dunque esso non può essere intero positivo,

Assurdo.
Ringraziano: Omega, F3l1x

Dimostrare che il numero di Nepero e è irrazionale #71658

avt
F3l1x
Cerchio
Grazie mille!emt
Ringraziano: Ifrit
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