Dimostrazione del limite del numero di Nepero

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Dimostrazione del limite del numero di Nepero #70662

avt
F3l1x
Cerchio
Salve ragazzi, mi sto cimentando nella dimostrazione del limite notevole del numero di Nepero

\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e

Devo dimostrare che la successione

\left (1 + \frac{1}{n} \right )^n

è strettamente crescente e durante la dimostrazione ho riscontrato un problema di comprensione della formula:

\left (1+\frac{1}{n}\right )^n= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\cdot \frac{1}{n^{k}}=\\ \\ \\ =\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\cdot \frac{n!}{n^{k}} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n}\cdot ...\cdot \frac{n-k+1}{n}

Infatti quando vado a sostituire in questa formula:

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\cdot \frac{1}{n^k}

il coefficiente binomiale dovrebbe essere:

\binom{n}{k} = \left ( \frac{n!}{k!\left ( n-k \right )!} \right )

e successivamente completo la formula in questo modo:

\binom{n}{k} = \left ( \frac{n!}{k!\left ( n-k \right )!} \right ) \cdot \frac{1}{n^{k}}

Arrivato a questo punto per riallacciarmi alla dimostrazione dovrei far scomparire (n-k)! e n^{k} ma non ho capito come.
 
 

Re: Dimostrazione del limite del numero di Nepero #70696

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro scopo consiste nel dimostrare il limite notevole

\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e

che a conti fatti è la definizione del numero di Nepero.

Formalmente noi non calcoleremo esplicitamente il limite della successione

\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb{N}-\{0\}}=\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}_{n\in\mathbb{N}-\{0\}}

bensì dimostreremo che il limite per n che tende a +\infty esiste ed è finito, e infine indicheremo il risultato con la lettera e.

Per garantire l'esistenza del limite abbiamo bisogno della monotonia di (a_n) mentre per avere la finitezza del limite necessitiamo della limitatezza della successione.

Dimostrazione della stretta crescenza di \left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb{N}-\{0\}}

Iniziamo dimostrando la monotonia della successione \left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb{N}-\{0\}}, più esplicitamente, dimostreremo che

a_{n}<a_{n+1} \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}-\{0\}

Per prima cosa ci avvarremo della formula del binomio di Newton

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^k

dove {n\choose k} è il coefficiente binomiale. Ponendo

a=1\ \ \ \mbox{e} \ \ \ b=\frac{1}{n}

possiamo esprimere a_n tramite una sommatoria

a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\frac{1}{n^k}

Esplicitiamo l'espressione del coefficiente binomiale:

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=

sviluppiamo il fattoriale di n al numeratore

=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot... \cdot (n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}

e infine semplifichiamo il fattore (n-k)! così da ottenere

{n\choose k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot ... \cdot (n-k+1)}{k!}

Riportiamo l'espressione ottenuta nella sommatoria

\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot (n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}

In accordo con la definizione di potenza con esponente naturale, possiamo scrivere n^k come prodotto di tante n quante sono le unità dell'esponente

n^k=\underbrace{n\cdot n\cdot ... \cdot n}_{k-\mbox{volte}} \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{N}

e rimpiazzando nella precedente relazione, ricaviamo

\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot (n-k+1)}{k!}\frac{1}{n\cdot n\cdot ... \cdot n}=

Possiamo riordinare i fattori presenti così da riportarla nella forma

=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot ... \cdot\frac{n-k+1}{n}

Benissimo, ora proponiamo alcune osservazioni con cui rielaboreremo l'espressione ottenuta:

\bullet \ \ \ \frac{n}{n}=1 \\ \\ \\ \bullet\ \ \ \frac{n-1}{n}=\frac{n}{n}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n} \\ \\ \\ \bullet \ \ \ \frac{n-k+1}{n}=\frac{n}{n}-\frac{k-1}{n}=1-\frac{k-1}{n}

Tali relazioni garantiscono la veridicità dell'uguaglianza

\\ a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot ... \cdot\frac{n-k+1}{n}=\\ \\ \\ =\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot 1\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{k-1}{n}\right)

pertanto siamo quindi riusciti a esprimere a_n come segue

a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot 1\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{k-1}{n}\right)

per ogni numero naturale n\in\mathbb{N}-\{0\}.

Esplicitiamo il termine a_{n+1}, rimpiazzando n+1 a ogni occorrenza di n nella precedente espressione.

a_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot 1\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)

e confrontiamo ordinatamente i fattori che costituiscono a_n con quelli di a_{n+1}:

\\ 1-\frac{1}{n}<1-\frac{1}{n+1} \\ \\ 1-\frac{k-1}{n}<1-\frac{k-1}{n+1}

Da ciò deduciamo immediatamente che

a_n<a_{n+1} \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}-\{0\}

pertanto \left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb{N}-\{0\}} è una successione strettamente crescente.

Limitatezza della successione

Dimostriamo a questo punto la limitatezza della successione \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}-\{0\}}, osservando sin da subito che dalla stretta crescenza segue che

a_1=2<a_n \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}

dunque è limitata inferiormente da 2.

Per dimostrare che è limitata superiormente, abbiamo bisogno di due disuguaglianze.

Per ogni k\ge 1 sussiste la disuguaglianza

k!\ge 2^{k-1}

infatti

k!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot k\ge 1\cdot \overbrace{2\cdot 2\cdot...\cdot 2}^{k-1 \ \mbox{volte}}=2^{k-1}

Per quanto concerne i fattori

1-\frac{1}{n} \ ; \ 1-\frac{2}{n} \ ;...; \ 1-\frac{k-1}{n}

ciascuno di essi è minore di 1, di conseguenza

\\ a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}1\cdot\overbrace{\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}^{<1}<\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}= \\ \\ \\ =1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\le 1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=1+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^{k}}

L'ultima sommatoria identifica il termine n-esimo della successione delle somme parziali associate alla serie geometrica di ragione q=\frac{1}{2} e la teoria fornisce la formula che consente di determinarne la somma:

\sum_{k=0}^{n-1}q^k=\frac{1-q^{n}}{1-q}

che per q=\frac{1}{2} diventa

\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^k}=\frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)

Indipendentemente dal valore attribuito a n\ge 1 il prodotto ottenuto è certamente minore di 2, perché il fattore 1-\frac{1}{2^n} è minore di 1 per ogni n\in\mathbb{N}-\{0\}, di conseguenza

a_n<1+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^{k}}<1+2=3\ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}

Possiamo concludere quindi che la successione è limitata superiormente da 3.

Traiamo le conclusioni. Abbiamo dimostrato la monotonia della successione di conseguenza il limite esiste certamente in virtù del teorema sui limiti di successioni monotone.

Avendo dimostrato anche la limitatezza della successione possiamo concludere che il limite non può divergere né positivamente, né negativamente pertanto deve essere necessariamente finito.

\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\ \mbox{esiste finito}

Per definizione poniamo che il risultato sia pari a e, vale a dire

e:=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, F3l1x

Re: Dimostrazione del limite del numero di Nepero #70870

avt
F3l1x
Cerchio
Grazie mille!
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Os