Limite trigonometrico con cambio di variabile

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Limite trigonometrico con cambio di variabile #70561

avt
ArmoniaMusicae
Cerchio
Salve! Ho un limite trigonometrico che credo vada risolto con un opportuno cambio di variabile

\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}{\frac{(2x-\pi)\cos{x}}{x(1-\sin{x})}}

e mi servirebbe un po' di aiuto.


Noi abbiamo fatto tutti i limiti notevoli ma questo si trova nel paragrafo in cui spiega

\lim_{x\to0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1

Ho provato ad utilizzare come variabile ausiliaria

y=2x-\pi

così x\to\frac{\pi}{2} \Rightarrow y\to0 , e potevo applicare il limite notevole ma non riesco a trovare il modo di applicarlo.

Grazie in anticipo!
 
 

Limite trigonometrico con cambio di variabile #70585

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il limite che proponi si risolve effettivamente per sostituzione, vediamo come.

Partiamo dal limite:

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{(2x-\pi)\cos(x)}{x(1-\sin(x))}=(\bullet)

Poniamo y= x-\frac{\pi}{2} ed osserviamo che quando x tende a \frac{\pi}{2} la variabile y tende a 0.

Dalla sostituzione y=x-\frac{\pi}{2} segue che x=y+\frac{\pi}{2}.

Si ha quindi che:

\\ \bullet\,\, 2x-\pi= 2y \\ \\ \bullet\,\,\cos(x)=\cos\left(y+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin(y)

dove nell'ultima relazione sono intervenute le formule relative agli archi associati.

\\ \bullet\,\,x= y+\frac{\pi}{2} \\ \\ \bullet\,\,\sin(x)=\sin\left(y+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(y)

dove l'ultima uguaglianza è assicurata ancora una volta dalle formule relative agli archi associati.

Sostituiamo nel limite iniziale così che diventi

(\bullet)=\lim_{y\to 0}\frac{2y (-\sin(y))}{\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\left(1-\cos(y)\right)}=

Ora un trucchetto algebrico: moltiplichiamo e dividiamo per 1+\cos(y) così da ottenere

=\lim_{y\to 0}\frac{2y (-\sin(y)) (1+\cos(y))}{\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\left(1-\cos(y)\right) (1+\cos(y))}=(\bullet\bullet)

Osserviamo che (1+\cos(y))(1-\cos(y)) è in realtà una differenza di quadrati ed è uguale a:

(1+\cos(y))(1-\cos(y))= 1-\cos^2(y)= \sin^2(y)

Grazie a questo magheggio algebrico otteniamo il limite equivalente

=\lim_{y\to 0}\frac{2y (-\sin(y)) (1+\cos(y))}{\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\sin^2(y)}=

e semplificando \sin(y)

=\lim_{y\to 0}-\frac{2y (1+\cos(y))}{\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\sin(y)}=

Concordemente con l'algebra dei limiti, scriviamo il limite del prodotto come prodotto di limiti:

=\lim_{y\to 0}-\frac{2y}{\sin(y)}\cdot\lim_{y\to 0}\frac{(1+\cos(y))}{\left(y+\frac{\pi}{2}\right)}

Il primo limite è il reciproco del limite notevole del seno moltiplicato per -2, il secondo si calcola sostituendo ad y il valore 0:

=-\lim_{y\to 0}\frac{2y}{\sin(y)}\cdot\lim_{y\to 0}\frac{(1+\cos(y))}{\left(y+\frac{\pi}{2}\right)}=-2\cdot\frac{4}{\pi}=-\frac{8}{\pi}

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Pi Greco, Galois, ArmoniaMusicae

Limite trigonometrico con cambio di variabile #70586

avt
ArmoniaMusicae
Cerchio
Infinitamente grazie emt
Ringraziano: Ifrit
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Os