Equazione con x^x #70281

avt
ArmoniaMusicae
Cerchio
Buonasera, volevo chiedere com'è possibile risolvere la seguente equazione con x^x

x^x=a

Cioè come faccio ad esprimere x in funzione di a? Grazie.

PS: avevo provato ad utilizzare il risolutore di equazioni nel caso in cui a=27 perché sapevo già che la soluzione è 3 ma il risolutore mi dà tale risultato:

x=\frac{\log(27)}{W(\log(27))}

ma non capisco cosa vuol dire quella W...
 
 

Equazione con x^x #70291

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao ArmoniaMusicae (bellissimo nick!)

L'equazione che proponi:

x^x=a

In generale non può essere risolta con metodi "semplici" se non in casi veramente particolari.

Osserva però che per a=27 è possibile trovare una soluzione senza grandi fatiche.

x^x=27

Ovviamente 27=3^3, quindi l'equazione si può riscrivere come:

x^x=3^3

La soluzione banale si trova ad occhio ed è x=3.

D'ora in poi leggi solo se hai studiato le funzioni inverse, altrimenti lascia perdere per il momento.

La tua domanda è ben precisa: come si fa ad esprimere x in funzione di a, in altri termini stai cercando la funzione inversa di f(x)=x^x

Per prima cosa osserviamo che il dominio della funzione è \mbox{dom}(f)=(0, +\infty) e inoltre:

\lim_{x\to 0}x^x= 1

\lim_{x\to \infty}x^x= +\infty

La derivata prima della funzione è

f'(x)= x^x (\ln(x)+1)

Essa si annulla per x=\frac{1}{e} che è un punto stazionario.

Studiando il segno della derivata prima ci accorgiamo che:

f'(x)>0\iff x>\frac{1}{e} e in questo intervallo la funzione di partenza è crescente

f'(x)<0\iff 0<x<\frac{1}{e} e in questo intervallo la funzione di partenza è decrescente.

x= \frac{1}{e} è un punto di minimo assoluto e il minimo vale f\left(\frac{1}{e}\right)= \frac{1}{e^{\frac{1}{e}}}<1


Dalle informazioni in nostro possesso, scopriamo che f(x) non è una funzione iniettiva e dunque non può essere invertita. Localmente la puoi invertire, in particolare nell'intervallo 0<x<\frac{1}{e}

oppure nell'intervallo x>\frac{1}{e}.

In ciascun intervallo, almeno in teoria, potresti determinare la funzione inversa. Nella pratica però, tali funzioni non si esprimono come composizione di funzioni elementari.

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Nota di approfondimento:

W è una funzione speciale, chiamata anche funzione W di Lambert, ma non credo che sia argomento di scuola superiore. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, ArmoniaMusicae
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