Equazione con x^x

Buonasera, volevo chiedere com'è possibile risolvere la seguente equazione con x^x



Cioè come faccio ad esprimere in funzione di ? Grazie.

PS: avevo provato ad utilizzare il risolutore di equazioni nel caso in cui perché sapevo già che la soluzione è ma il risolutore mi dà tale risultato:



ma non capisco cosa vuol dire quella ...

Ciao ArmoniaMusicae (bellissimo nick!)

L'equazione che proponi:



In generale non può essere risolta con metodi "semplici" se non in casi veramente particolari.

Osserva però che per è possibile trovare una soluzione senza grandi fatiche.



Ovviamente , quindi l'equazione si può riscrivere come:



La soluzione banale si trova ad occhio ed è .

D'ora in poi leggi solo se hai studiato le funzioni inverse, altrimenti lascia perdere per il momento.

La tua domanda è ben precisa: come si fa ad esprimere x in funzione di a, in altri termini stai cercando la funzione inversa di

Per prima cosa osserviamo che il dominio della funzione è e inoltre:





La derivata prima della funzione è



Essa si annulla per che è un punto stazionario.

Studiando il segno della derivata prima ci accorgiamo che:

e in questo intervallo la funzione di partenza è crescente

e in questo intervallo la funzione di partenza è decrescente.

è un punto di minimo assoluto e il minimo vale


Dalle informazioni in nostro possesso, scopriamo che non è una funzione iniettiva e dunque non può essere invertita. Localmente la puoi invertire, in particolare nell'intervallo

oppure nell'intervallo .

In ciascun intervallo, almeno in teoria, potresti determinare la funzione inversa. Nella pratica però, tali funzioni non si esprimono come composizione di funzioni elementari.

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Nota di approfondimento:

è una funzione speciale, chiamata anche funzione W di Lambert, ma non credo che sia argomento di scuola superiore.