Equazione con valore assoluto e dominio di una funzione fratta

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Equazione con valore assoluto e dominio di una funzione fratta #70159

avt
trieb91
Punto
Ciao youmath! Mi trovo in difficoltà con un'equazione con un valore assoluto che salta fuori nel calcolo del dominio di una funzione fratta.

Determinare l'insieme di esistenza della funzione

f(x)=\frac{2+x}{x-\left | x \right |}

Ponendo il denominatore diverso da zero non so come proseguire. Seguendo le vostre lezioni sulle equazioni con valore assoluto e termine noto variabile, ho aperto i due sistemi e mi ritrovo così nel primo sistema ad avere x>0 e x=x e ne secondo x<0 e -x=x e a questo punto non so più che fare.

Il risultato è x<0.
 
 

Equazione con valore assoluto e dominio di una funzione fratta #70174

avt
Omega
Amministratore
Ciao Trieb91,

In accordo con le regole per calcolare il dominio, affinché la funzione

f(x)=\frac{2+x}{x-\left|x\right|}

sia ben definita, dobbiamo solamente richiedere che il denominatore non si annulli, imponiamo cioè

x-|x|\neq 0

Ci ritroviamo a tutti gli effetti a dover risolvere un'equazione con valore assoluto.

Determinare tutte e sole le soluzioni dell'equazione equivale a considerare l'unione delle soluzioni di due sistemi. Ciascuno di essi è individuato a partire dalla condizione che specifica il segno dell'argomento del valore assoluto

\begin{cases}x\geq 0\\ \\ x-(+x)\neq 0\end{cases}\ \cup\ \begin{cases}x< 0\\ \\ x-(-x)\neq 0\end{cases}

Risolviamoli!

\begin{cases}x\geq 0\\ \\ 0\neq 0\end{cases}\ \cup\ \begin{cases}x< 0\\ \\ 2x\neq 0\end{cases}

Soffermiamoci sui due sistemi separatamente, partendo dal primo

\begin{cases}x\geq 0\\ \\ 0\neq 0\end{cases}

qui è presente una condizione impossibile, che dunque ammette come insieme delle soluzioni l'insieme vuoto.

Dato che un sistema ha il significato logico di intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole condizioni, il primo sistema è ovviamente impossibile.

Ora occupiamoci del secondo

\begin{cases}x< 0\\ \\ x\neq 0\end{cases}

Non facciamoci trarre in inganno e leggiamo bene la seconda condizione

\begin{cases}x< 0\\ \\ x<0\ \vee\ x>0\end{cases}

pertanto il sistema ha come soluzioni x<0.

Per quanto riguarda l'unione delle soluzioni dei due sistemi, abbiamo

\emptyset\cup\{x<0\}=\{x<0\}

dunque il dominio della funzione è

Dom(f) =(-\infty,0)

Ecco fatto.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, trieb91

Equazione con valore assoluto e dominio di una funzione fratta #70183

avt
trieb91
Punto
Grazie mille!
Ringraziano: Omega, Scarlett14
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Os