Rotazione volumetrica e volume di un cilindro #66586

avt
studentepensieroso
Punto
Salve, volevo porvi una domanda riguardo alla rotazione volumetrica e al calcolo del volume di un cilindro.

Il cilindro è generato per definizione da una rotazione di 360° di un rettangolo.

Ora se io considero un rettangolo ABCD di lato AB=1,\ BC=2 e lo faccio ruotare attorno al lato maggiore ottengo un cilindro di raggio r=AB=1 e di altezza h=BC=2.

Il volume del cilindro si calcola \pi\(r^{2}){h}.

Perché se calcolo l'area del rettangolo (nel mio caso l'area viene 2) e la moltiplico per 2\pi\(r) non ottengo il volume del cilindro?

Grazie emt
 
 

Rotazione volumetrica e volume di un cilindro #66614

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao studentepensieroso emt

La definizione di cilindro va bene. In base al testo dell'esercizio sappiamo che il rettangolo generatore ha base AB=1 e indica il raggio del cerchio di base. L'altezza del rettangolo è invece BC=2 e coincide con l'altezza del cilindro.

In questo caso il volume del cilindro sarà dato da:

V=\pi AB^2\cdot BC= 2\pi

Un altro metodo per calcolare il volume del cilindro è quello di utilizzare il teorema di Guldino.

Sia B_{rett} il baricentro del rettangolo, sappiamo che nel rettangolo il baricentro si trova ad una distanza s= \frac{AB}{2}= \frac{1}{2}

Per il teorema di Guldino abbiamo che:

V= 2\pi\cdot \frac{AB}{2}\cdot CD= \pi AB\cdot CD= 2\pi

Ricorda che:

V= 2\pi \mbox{B} \mbox{Area}

dove B è la distanza tra il baricentro della figura che ruota e l'asse di rotazione, mentre \mbox{Area} è l'area della superficie che ruota.

Ti invito a leggere anche questa discussione sul volume di solidi di rotazione con gli integrali.
Ringraziano: Omega, CarFaby, studentepensieroso

Rotazione volumetrica e volume di un cilindro #66626

avt
studentepensieroso
Punto
Grazie mille per la risposta, sei stato molto chiaro.

Il dubbio però mi resta purtroppo. Immagino il cilindro come una somma di tanti rettangoli uguali generati dalla rotazione di 360°.

Come ho potuto constatare nella seconda pagina di questo pdf [eliminato link-Ifrit] Per cui mi chiesto se considero l'area del rettangolo generatore ( [r]\cdot  [h] ) e considero "lo spazio che deve percorrere per poter costruire un cilindro" ( che equivale a 2\pi(r) ) perchè ottengo 2\pi(r)^{2}\cdot  (h) e non \pi(r)^{2}(h). A livello concettuale il discorso del rettangolo che per rotazione genera il cilindro fila.. grazie ancora emt

Rotazione volumetrica e volume di un cilindro #66632

avt
Ifrit
Amministratore
Non è vero che lo spazio che deve percorrere il rettangolo è 2\pi r. In realtà lo "spazio" che spazza il rettangolo generatore è proprio il cilindro stesso.

Forse intendi dire che i punti che compongono il rettangolo girando intorno all'asse di rotazione percorrono una circonferenza con lunghezza 2\pi r, ma anche questa interpretazione è errata. Immagina un punto del rettangolo che sta vicino all'asse di rotazione, ti renderai conto che la lunghezza della circonferenza che percorrerà sarà minore di quella di un punto che sta lontano dall'asse di rotazione.

Il teorema di Pappo- Guldino per i solidi di rotazione risolve questo problema perché si dimostra che dato un insieme A che ruota intorno ad un asse di rotazione esterno ad A, ad esempio l'asse y, allora il solido S generato dalla rotazione di A intorno all'asse y è:

\mbox{Volume}(S)= 2\pi |\mbox{B}_{x}|\mbox{Area}(A)

dove

|\mbox{B}_{x}| è il valore assoluto dell'ascissa del baricentro di A, e corrisponde alla distanza del baricentro dall'asse di rotazione y.

\mbox{Area}(A) è l'area della figura piana che ruota attorno all'asse y.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, studentepensieroso
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