Integrale di un prodotto con seno ed esponenziale

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Integrale di un prodotto con seno ed esponenziale #66181

avt
BleakHeart
Frattale
Buonasera a tutti, quanto tempo eh? emt Oggi sono alle prese con l'integrale di un prodotto con esponenziale e seno, eccolo:

\int \sin(3x)e^{2x}dx


Allora io ho iniziato con una bella sostituzione di 2x=t \rightarrow x=\frac{t}{2}. Di conseguenza il differenziale di variabile t è:

dx=\frac{1}{2}dt

Facendo le dovute sostituzioni ottengo:

\frac{1}{2}\int \sin\left(\frac{3}{2}t\right)\cdot e^{t}dt

Integro per parti e mi viene:

\frac{1}{2}\sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}-\frac{3}{4}e^{t}\cos(\frac{3}{2}t)

raccolgo l'esponenziale, sostituisco t=2x e faccio il mcm, ottenendo:

e^{2x}[2\sin(3x)-3\cos(3x)]+c

Vorrei sapere se ciò che ho fatto è giusto...
 
 

Integrale di un prodotto con seno ed esponenziale #66201

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao BlackHeart. emt

C'è qualcosa che non mi torna, ripropongo i tuoi passaggi per capire in quali passaggi ti sei perso.

Abbiamo l'integrale:

\int\sin(3x)e^{2x}dx

Possiamo procedere integrando per sostituzione ponendo:

t=2x\implies dt = 2 dx\implies dx= \frac{1}{2}dt

(In realtà la sostituzione non è davvero utile, ma se ti senti più sicuro, puoi procedere in questo modo emt )

Grazie alla sostituzione otteniamo:

\int \frac{1}{2}\sin\left(\frac{3}{2} t\right)e^{t}dt

Portiamo fuori l'un mezzo:

\frac{1}{2}\int \sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt

Adesso possiamo procedere per parti, prendendo come fattore finito da derivare la funzione:

f(t)= \sin\left(\frac{3}{2}t\right)\implies f'(t)= \frac{3}{2}\cos\left(\frac{3}{2}t\right)

e come fattore differenziale da integrare:

g'(t)= e^{t}\implies g(t)= e^{t}

La formula di integrazione per parti ci permette di scrivere che:

\frac{1}{2}\int \sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt= \frac{1}{2}\left[\sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}-{\color{red} \int \frac{3}{2}\cos\left(\frac{3}{2}t\right) e^{t}dt}\right]

Attenzione dobbiamo risolvere l'integrale in rosso:

\int \frac{3}{2}\cos\left(\frac{3}{2}t\right) e^{t}dt= \frac{3}{2}\int \cos\left(\frac{3}{2}t\right) e^{t}dt

Ancora una volta per parti prendendo come fattore finito

h(t)=\cos\left(\frac{3}{2}t\right)\implies h'(t)= -\frac{3}{2}\sin\left(\frac{3}{2}t\right)

e come fattore differenziale:

k'(t)= e^{t}\implies k(t)= e^{t}

Per la formula di integrazione per parti:

\frac{3}{2}\int \cos\left(\frac{3}{2}t\right) e^{t}dt=

\frac{3}{2}\left[\cos\left(\frac{3}{2}t\right) e^{t}- \int  -\frac{3}{2}\sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt\right]

Porto fuori -\frac{3}{2}

\frac{3}{2}\left[\cos\left(\frac{3}{2}t\right) e^{t}+\frac{3}{2} \int  \sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt\right]

Se guardi bene l'ultimo integrale è praticamente quasi l'integrale di partenza! emt

\frac{1}{2}\int \sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt=

 \frac{1}{2}\left[\sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}-\left[\frac{3}{2}\left[\cos\left(\frac{3}{2}t\right) e^{t}+\frac{3}{2} \int  \sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt\right]\right]

=\frac{1}{2}\sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}-\frac{1}{2}\left[\frac{3}{2}\left[\cos\left(\frac{3}{2}t\right) e^{t}+\frac{3}{2} \int  \sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt\right]\right]

=\frac{1}{2}\sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}-\frac{3}{4}\cos\left(\frac{3}{2}t\right) e^{t}-\frac{9}{8} \int  \sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt

Portiamo al primo membro l'ultimo integrale. Al primo membro avrai:

\frac{1}{2}\int \sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt+ \frac{9}{8} \int  \sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt

Sommando avrai:

\frac{13}{8}\int \sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt


al secondo membro rimarrà:


\frac{1}{2}\sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}-\frac{3}{4}\cos\left(\frac{3}{2}t\right) e^{t}


di conseguenza:


\frac{13}{8}\int \sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt=\frac{1}{2}\sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}-\frac{3}{4}\cos\left(\frac{3}{2}t\right) e^{t}

Moltiplica membro a membro per \frac{8}{13}

\int \sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}dt=\frac{8}{13}\left(\frac{1}{2}\sin\left(\frac{3}{2}t\right)e^{t}-\frac{3}{4}\cos\left(\frac{3}{2}t\right) e^{t}\right)+c


Abbiamo quasi finito. Poiché t= 2x Allora:

2\int \sin\left(3x\right)e^{2x}dx=\frac{8}{13}\left(\frac{1}{2}\sin\left(3x\right)e^{2x}-\frac{3}{4}\cos\left(3x\right) e^{2x}\right)+c

da cui

\int \sin\left(3x\right)e^{2x}dx=\frac{4}{13}\left(\frac{1}{2}\sin\left(3x\right)e^{2x}-\frac{3}{4}\cos\left(3x\right) e^{2x}\right)+c
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, BleakHeart
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Os