Equazione fratta con metodo grafico #66085

avt
kappa123
Punto
Buongiorno, avrei sinceramente bisogno che mi aiutiate nella risoluzione col metodo grafico e con la risoluzione matematica seguente equazione fratta con un logaritmo

ln(x+7)=\tfrac{1}{x-3}

Tutto ciò che son riuscito a fare è stato questo:

x+7=e^\frac{1}{x-3}

Purtroppo ciò non mi ha portato a niente...Dal punto di vista grafico, senza sapere né come ne perché, sono arrivato a definire questo intervallo:

\{-7<x<3\}\cup \{x>3\}

Molto probabilmente è sbagliato anche questo...Aiuto vi prego!
 
 

Equazione fratta con metodo grafico #66119

avt
Omega
Amministratore
Ciao Kappa 123,

Quello che hai scritto non è un intervallo, bensì un'unione di intervalli. Oltretutto che cosa rappresenterebbe ai fini dell'esercizio, e soprattutto come e per quale motivo hai determinato quel risultato? emt

L'equazione che hai proposto è un'equazione trascendente e non può essere risolta algebricamente. Puoi solamente stabilire se essa ammette o no delle soluzioni e in caso affermativo darne una stima.

Puoi conseguire lo scopo con l'accoppiata teorema degli zeri + metodo di approssimazione numerica delle soluzioni (come ad esempio il metodo di bisezione - se ti interessa c'è una scheda fresca fresca di esercizi sul teorema degli zeri e sul metodo di bisezione). In alternativa, il che è molto meglio in casi del genere, puoi fare tutto in un sol colpo con il metodo del confronto grafico.

Tale metodo è descritto nella lezione sulle disequazioni trascendenti. Chiaramente lì è applicato al caso delle disequazioni ma la logica è del tutto analoga per le equazioni.

In pratica consideriamo l'equazione

\ln(x+7)=\frac{1}{x-3}

come un confronto tra le ordinate raggiunte da due funzioni

y=\ln(x+7)

y=\frac{1}{x+3}

tutte e sole le soluzioni dell'equazione sono date dalle ascisse dei punti di intersezione tra i due grafici. Per determinare il numero di soluzioni dell'equazione e per darne una stima devi quindi studiare le due funzioni.

Più calcoli risparmiamo, meglio è. Ciò ci suggerisce di rimaneggiare l'equazione in modo da ricondurci a due funzioni di cui almeno una sia comoda se non immediata. La tua scelta è buona, perché in

x+7=e^\frac{1}{x-3}

il grafico della funzione a sinistra è una retta. Così facendo puoi limitarti a studiare solamente y=e^\frac{1}{x-3}.

Però attenzione: l'equazione nella sua forma originaria prevede una condizione di esistenza che non puoi ignorare, quella relativa all'argomento del logaritmo

x+7>0\ \to\ x>-7

quindi quando applichi il metodo grafico a

x+7=e^\frac{1}{x-3}

devi scartare tutte le eventuali soluzioni x\leq -7.

Passo direttamente ai risultati:

confronto grafici soluzioni equazione trascendente


come stime puoi fornire x_1\simeq -6,\ x_2\simeq 3,4. Mi raccomando sull'uso del simbolo \simeq che denota per l'appunto un'approssimazione e non un'uguaglianza. emt
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, kappa123
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