Funzione integrale e teorema di Rolle

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Funzione integrale e teorema di Rolle #66074

avt
ClaudiaBrescia
Punto
Allora, ho un esercizio sulle funzioni integrali che ho cercato di risolvere con il teorema di Rolle: sia F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} la funzione così definita

F(x)= \int_{0}^{x}\frac{te^{\cos(t)}+ \tan(t))}{t^{6}+4}

dimostrare che esiste c \in [-2;2] tale che f ' (c) = 0. Individuare almeno un punto stazionario in tale intervallo e descriverlo.


Ora, ho pensato di dovermi rifare al teorema di Rolle. Dunque, so che è derivabile e se è derivabile nell'intervallo è anche continua. Prima domanda: devo controllare la derivabilità anche agli estremi sostituendo -2 e 2 nell'espressione della derivata?
Dopodiché pongo numeratore uguale a zero per trovare questo punto stazionario e come la risolvo?

Il procedimento è corretto?
 
 

Funzione integrale e teorema di Rolle #66077

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao ClaudiaBrescia.

Sei proprio certa della traccia? Ho qualche perplessità sulla funzione integranda. Quella tangente rende l'esercizio troppo complicato per un istituto superiore. Fammi sapere.
Ringraziano: Iusbe

Funzione integrale e teorema di Rolle #66078

avt
ClaudiaBrescia
Punto
sìsì, la traccia è proprio quella. Ci ha detto che va risolto più "ragionando" che analiticamente, quindi presuppongo ci sia da applicare qualche teorema o dimostrare solamente che vale qualche teorema tale da rendere vera la sentenza! emt
Ringraziano: Eliaxyz23

Funzione integrale e teorema di Rolle #66098

avt
Omega
Amministratore
Intervengo nella discussione previo permesso di Ifrit. emt

Ciao ClaudiaBrescia, cercherò di spiegare per quanto è nelle mie facoltà, e per quanto tu puoi effettivamente capire con gli strumenti matematici di cui disponi (scuole superiori), il motivo per cui la traccia dell'esercizio è priva di ogni significato.

Chi ha redatto il testo lo ha fatto distrattamente - e può capitare, beninteso - perché non ha tenuto conto di un aspetto non trascurabile.

Siamo di fronte ad una funzione integrale F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, definita da

F(x)=\int_{0}^{x}\frac{te^{\cos(t)}+ \tan(t)}{t^{6}+4}dt

e vogliamo dimostrare che esiste c \in [-2;2] tale che f ' (c) = 0.

Prima di tutto dobbiamo domandarci dove è definita la funzione integrale F. Per farla breve il problema riguarda proprio la tangente presente al numeratore.

Sì, perché per definizione \tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)} e noi sappiamo che il coseno si annulla in un'infinità di punti, tutti quelli della forma \frac{\pi}{2}+k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}.

Qual è il primo di questi punti che incontriamo partendo da x=0 e procedendo per valori di ascissa crescenti? Naturalmente x=\frac{\pi}{2}.

Ci domandiamo: la funzione integrale è definita per x=\frac{\pi}{2} ? In modo del tutto equivalente, l'integrale improprio di seconda specie

F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{te^{\cos(t)}+ \tan(t)}{t^{6}+4}dt

converge o no? Se sì, allora il dominio contiene l'intervallo \left[0,\frac{\pi}{2}\right]; in caso contrario, la funzione integrale non è definita per ascisse maggiori di x=\frac{\pi}{2}.

Il punto è che quell'integrale non converge e, ancor peggio, non disponi degli strumenti necessari per dimostrare che non converge.

Per dimostrare che non converge si ricorre ad opportuni criteri di convergenza per integrali impropri di seconda specie e non è affatto difficile farlo...per un universitario però!

In modo analogo, si può dimostrare che la funzione integrale non converge nemmeno per x=-\frac{\pi}{2}.


La continuità della funzione integranda fa sì che la funzione integrale sia continua e derivabile sull'intervallo \left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right).

Si conclude che la funzione integrale ha come dominio l'intervallo \left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right).

Dato che \left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right)\subset [-2,+2], concludiamo anche che la richiesta dell'esercizio è priva di significato. Chi ha ideato il testo non ha tenuto conto della discontinuità generata dalla tangente. :(


Ti propongo una versione che per i tuoi scopi è utile e valida:

sia F: \mathbb{R}\to\mathbb{R} la funzione così definita:

F(x)=\int_{0}^{x}\frac{te^{\cos(t)}+ \tan(t)}{t^{6}+4}dt

Dimostrare che esiste c \in [-1;+1] tale che f ' (c) = 0. Individuare almeno un punto stazionario in tale intervallo e descriverlo.


Morale: se consideriamo un intervallo della forma [-a,+a] con 0<a<\frac{\pi}{2}, l'esercizio è ok.

Proviamo a svolgere l'esercizio applicando il teorema di Rolle. Vediamo se sussistono le ipotesi:

- la funzione integrale è continua su [-1,+1] e derivabile su (-1,+1) in forza del teorema fondamentale del calcolo integrale, perché la funzione integranda è continua sull'intervallo [-1,+1]

- i valori assunti agli estremi dell'intervallo [-1,+1] coincidono?

F(+1)=\int_{0}^{+1}\frac{te^{\cos(t)}+ \tan(t)}{t^{6}+4}dt

Ora consideriamo la valutazione all'estremo sinistro

F(-1)=\int_{0}^{-1}\frac{te^{\cos(t)}+ \tan(t)}{t^{6}+4}dt=\bullet

per una nota proprietà degli integrali (inversione degli estremi)

\bullet=-\int_{-1}^{0}\frac{te^{\cos(t)}+ \tan(t)}{t^{6}+4}dt=

dopodiché, per un'altra proprietà (omogeneità)

=\int_{-1}^{0}\left(-\frac{te^{\cos(t)}+ \tan(t)}{t^{6}+4}\right)dt=\bullet\bullet

ora viene il bello: osserviamo che la funzione integranda è dispari, infatti detta

f(t)=\frac{te^{\cos(t)}+ \tan(t)}{t^{6}+4}

risulta

f(-t)=-f(t)

e quindi

\bullet\bullet=\int_{-1}^{0}\frac{(-t)e^{\cos(-t)}+ \tan(-t)}{(-t)^{6}+4}dt=

effettuiamo la sostituzione s=-t, da cui dt=-ds, e modifichiamo di conseguenza gli estremi:

- se t=0\ \to\ s=0

- se t=-1\ \to\ s=+1

=\int_{+1}^{0}\frac{(s)e^{\cos(s)}+ \tan(s)}{(s)^{6}+4}(-ds)=

=-\int_{+1}^{0}\frac{(s)e^{\cos(s)}+ \tan(s)}{(s)^{6}+4}ds=

e ancora grazie alla proprietà precedentemente usata

=\int_{0}^{+1}\frac{(s)e^{\cos(s)}+ \tan(s)}{(s)^{6}+4}ds=F(+1)

Non farti trarre in inganno dal nome della variabile muta di integrazione. emt

Abbiamo dimostrato che F(+1)=F(-1). Le ipotesi del teorema di Rolle sussistono e abbiamo dimostrato che esiste c\in (-1,+1) tale che F'(c)=0.


A proposito: occhio al dt emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby, Iusbe
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