Derivata con seno e modulo #65669

avt
guardiax
Punto
Ciao ragazzi devo calcolare la derivata di una funzione con seno di un modulo: ho la funzione

y=\sin \left | x^4-x^2 \right |


Ho capito come si svolge cioè si pone sia maggiore di 0 che minore di 0 come se stessi facendo un semplice modulo e mi trovo questo

\begin{cases}2(2x^3-x)\cos(x^4-x^2)\\ -2(2x^3-x)\cos(x^4-x^2)\end{cases}

ma oltre a questo risultato sul libro riporta anche:

\begin{cases}x<-1,\ x>1\\ -1<x<1\end{cases}

ecco sto -1 e 1 dove lo prende? Non ditemi perché il seno e definito tra -1 e 1 e se è così per quest'altra funzione com'è?

y=\left | x^3-3x^2 \right |+ \log(x)

la derivata prima la so fare come quella di sopra ma poi per i < e > come faccio a vedere e cosa devo vedere per metterli?
Ringraziano: seba07
 
 

Derivata con seno e modulo #65683

avt
Momo95
Punto
Ti sei risposto da solo praticamente: devi risolvere i due casi, ma questi due casi sono determinati da intervalli della x.

y=sin|x^4 - x^2|

Studi il modulo:

x^4 - x^2 > 0

Da cui:

x^2(x^2 -1) > 0

Ovvero:

x^2>0 \forall x (diverso da 0)

x^2 -1>0 , quindi x<-1 \cup x>1

Facendo lo studio del segno ti torna il risultato del libro. Sono gli intervalli di validità.

Derivata con seno e modulo #65685

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao guardiax emt

Quelle condizioni derivano dall'aver scritto la funzione per casi. Abbiamo la funzione:

f(x)= \sin|x^4-x^2|

Per scriverla per casi dobbiamo fare uso della definizione di valore assoluto.

Come si procede? Semplicissimo, devi studiare il segno dell'argomento del valore assoluto:

x^4-x^2\ge 0 \iff x\le -1\vee x\ge 1

Quindi l'argomento del valore assoluto è positivo o nullo se e solo se

x\le -1\vee x\ge

mentre è negativo se -1<x<1. Il valore assoluto si riscriverà come:

|x^4-x^2|=\begin{cases}x^4-x^2&\mbox{ se }x\le -1\vee x\ge 1\\ -(x^4-x^2)&\mbox{ se }-1<x<1\end{cases}


Pertanto la funzione di partenza si riscrive come:

f(x)=\begin{cases}\sin(x^4-x^2)&\mbox{ se } x\le -1\vee x\ge 1\\ \sin(-(x^4-x^2))&\mbox{ se }-1<x<1\end{cases}

Vedi? Abbiamo scritto la funzione per casi, o per rami. In particolare abbiamo due rami! Per calcolare la derivata dovrai semplicemente derivare singolarmente il ramo:

f'(x)=\begin{cases}(4x^3-2x)\cos(x^4-x^2)&\mbox{ se }x<-1\vee x>1 \\ -(4x^3-2x)\cos(x^2-x^4)&\mbox{ se }-1<x<1\end{cases}

Qui ho utilizzato la regola di derivazione delle funzioni composte.

Osserva che non ho preso in considerazione il punto x=1 e x=-1. Essi prendono il nome di punti di raccordo, e devono essere esclusi quando si calcola la derivata perché essi devono essere studiati a parte: si candidano infatti come punti di non derivabilità.
Ringraziano: Omega, Iusbe, guardiax
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Os