Integrale per l'area delimitata da una parabola ed una retta

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Integrale per l'area delimitata da una parabola ed una retta #65118

avt
BleakHeart
Frattale
Buongiorno ragazzi, ho provato a usare gli integrali per calcolare l'area di una regione di piano individuata da una retta e da una parabola. Volevo chiedervi se potete correggere lo svolgimento...

Calcola l'area di piano delimitata dalla parabola con asse parallelo all'asse x, avente vertice V(-4,0) e passante per il punto P(0,2) e dalla retta parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante passante per P.



Io ho trovato l'equazione della parabola facendo:

x-x_{0}=a(y-y_{0})^2

Sostituisco i valori del vertice, ottenendo:

x+4=a(y-0)^2\ \ \ \bullet

Ora sostituisco i valori di P, ottenendo:

4=4a\Rightarrow  a=1

Riprendendo la \bullet e sostituendo il valore di a, ottengo:

x=y^2-4

Poi passo a calcolare la retta passante per P:

y-y_{0}=m(x-x_{0})

Sostituisco i valori di P e di m (sapendo che il coefficiente angolare della bisettrice è -1), ottenendo:

y=-x+2

Ora dovrei calcolare la differenza degli integrali definiti delle due funzioni nell'intervallo [-4,2]:

\int_{-4}^{2}({-x+2} )dx-\int_{-4}^{2}(y^2-4)dy


I miei ragionamenti sono giusti?
 
 

Integrale per l'area delimitata da una parabola ed una retta #65155

avt
Galois
Coamministratore
Ciao BleakHeart emt

Hai correttamente determinato l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x, vertice nel punto V(-4,0) e passante per il punto (0,2).

La sue equazione è proprio:

x=y^2-4

Ottimo anche il procedimento che hai seguito per determinare l'equazione della retta parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Passiamo ora al punto chiave:

dobbiamo calcolare l'area della parte di piano compresa tra retta e parabola.

Facciamoci il grafico:

retta parabola


Ricordiamo ora che l'integrale secondo Riemann ha il significato geometrico di area sottesa dal grafico della funzione integranda.

Tu scrivi che per trovare l'area richiesta bisogna calcolare:

\int_{-4}^{2}({-x+2} )dx-\int_{-4}^{2}(y^2-4)dy


il che è del tutto errato emt

Il primo integrale infatti:

\int_{-4}^{2}({-x+2} )dx

per quanto prima detto, rappresenta l'area sottesa dal grafico della retta, il secondo non ha né capo né coda.. Integri rispetto alla variabile y e poi gli estremi di integrazione sono -4 e 2 (che variano sull'asse x).. Un vero macello..

Non avendo ancora studiato gli integrali doppi, avrai sicuramente sotto mano la formuletta per calcolare l'area della parte di piano compresa tra due curve, che è la seguente:

\int_{a}^{b} \left[f(x)-g(x)\right]dx

in cui:

a è l'ascissa dell'intersezione tra le due curve a sinistra;

b è l'ascissa dell'intersezione a destra;

f(x) è l'equazione della curva "in alto" e

g(x) è l'equazione della curva in basso

Osserva che, nella formula, le due funzioni sono in funzione della variabile x

Morale: cosa conviene fare per poter applicare la nostra formuletta? Una semplice rotazione in senso antiorario di 90°.

Questo ci porterà ad avere la seguente situazione:

parabola retta


e, a questo punto, possiamo concludere che l'area cercata è data da:

\int_{-3}^{2} \left[(\mbox{retta})-(\mbox{parabola})\right]dx

Rimane quindi solo da capire come ottenere l'equazione di parabola e retta dopo la rotazione:

Molto semplice! Per ottenere l'equazione di una curva ruotata di 90° basta applicare la trasformazione:

\begin{cases}x'=y \\ y'=x \end{cases}

cioè, per farla breve, sostituire x con y ed y con x nella curva di partenza.

Avremo quindi che l'equazione della nuova parabola sarà:

y=x^2-4

e quella della retta

y=-x+2

A questo punto, concludendo, l'area sarà data da:

\int_{-3}^{2}\left[(-x+2)-(x^2-4)\right]dx = \int_{-3}^{2}\left[-x^2-x+6\right]dx

che lascio a te emt
Ringraziano: CarFaby

Integrale per l'area delimitata da una parabola ed una retta #65161

avt
BleakHeart
Frattale
Grazie galois!

e se non volessi ruotare la parabola, dovrei integrare la seconda funzione nell'intervallo [-2,2] ?

ottenendo:

\int_{-4}^{2}(-x+2)dx-\int_{-2}^{2}(y^2-4)dy

Integrale per l'area delimitata da una parabola ed una retta #65175

avt
Galois
Coamministratore
Purtroppo no! emt

Attenzione! Non puoi integrare come credi, una funzione rispetto ad x ed una rispetto ad y.

Cerco di spiegarti il motivo partendo dalla formula prima scritta che ti permette di calcolare l'area della regione di piano compresa tra due curve:

\int_{a}^{b} \left[f(x)-g(x)\right]dx

Sfruttando la linearità dell'integrale lo possiamo scrivere come:

\int_{a}^{b} \left[f(x)\right]dx - \int_{a}^{b} \left[g(x)\right]dx

Cosa rappresentano questi due integrali?

Con un esempio è più facile da capire. Rimettiamoci nel caso dell'esercizio precedente con

f(x)=-x+2 (la nostra retta)

g(x)=x^2-4

a=-3, \ b=2

Allora, per il significato geometrico dell'integrale di Riemann:

\int_{a}^{b} \left[f(x)\right]dx = \int_{-3}^{2} \left[-x+2\right]dx

Graficamente rappresenta l'area della seguente parte di piano:

area sottesa retta


A cui poi sottraiamo:

\int_{a}^{b} \left[g(x)\right]dx = \int_{-3}^{2} \left[x^2-4\right]dx

ovvero:

area sottesa parabola


ottenendo quindi l'area della parte di piano richiesta.

Perché ho voluto farti notare tutto questo?

Per farti capire (spero) che non ha senso integrare una funzione rispetto ad x ed una rispetto ad y..

Se proprio non vuoi effettuare la rotazione puoi calcolare:

\int_{a}^{b}{\left(f(y)-g(y)\right)dy}

a è l'ordinata dell'intersezione tra le due curve in basso;

b è l'ascissa dell'intersezione in alto;

f(x) è l'equazione della curva "a destra" e

g(x) è l'equazione della curva a sinistra

e quindi, facendo riferimento alla prima figura del mio precedente messaggio avere:

a=-3 (ordinata del punto in basso di intersezione tra retta a parabola)

b=2 (ordinata del punto in alto di intersezione tra retta a parabola)

f(y)=2-y

g(y)=y^2-4

e quindi avere:

\int_{-3}^{2}{\left(2-y-y^2+4\right)dy}=\int_{-3}^{2}{\left(-y^2-y+6\right)dy}

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, BleakHeart

Re: Integrale per l'area delimitata da una parabola ed una retta #65239

avt
BleakHeart
Frattale
Grazie ancora!

Mi scuso per la domanda stupida che ho posto nella risposta #65161.
Il motivo è che, non avendo trattato tali esercizi in classe, non ho avuto modo di assillare la mia prof con quelle domande emt
Ringraziano: Galois
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Os