Integrale di sqrt(1-kx^2) #65051

avt
Momo95
Punto
Buongiorno a tutti, avrei dei dubbi sugli integrali indefiniti del tipo sqrt(1-kx^2), come ad esempio questo:

\int{\left(\sqrt{(1-3x^2)}\right)dx}

So che è possibile risolverlo sostituendo

\sin{\left(t\right)}=\sqrt{3}x

ma non capisco la logica di questa sostituzione (e ovviamente, non è un buon motivo "eh ma così viene" emt)

Sareste in grado di risolverlo senza applicare quella sostituzione, oppure potreste spiegarmi la logica della sostituzione sopra?

Grazie mille a tutti emt
 
 

Integrale di sqrt(1-kx^2) #65056

avt
jimmypage1976
Sfera
Ciao, se fai la sostituzione indicata da te non è che cambi molto dall'integrale iniziale, probabilmente intendevi questa sostituzione

x= \frac{\sin(t)}{\sqrt{3}}

così diventa

\int \sqrt{1-3(\frac{\sin^2(t)}{3})}

mentre il differenziale diventa

dt=\frac{cost}{\sqrt{3}}

ed infine l'integrale

\frac{1}{\sqrt{3}}\int \sqrt{1-\sin^2(t)}\cos(t)dt= \frac{1}{\sqrt{3}}\int\cos(t)\left |\cos(t) \right |dt

dove se supponiamo x\in\left [ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]  il coseno è positivo quindi posso togliere il valore assoluto.

Grazie alla formula di duplicazione del coseno.

 \frac{1}{\sqrt{3}}\int \cos^2(t)dt=\int \frac{1+\cos(2t)}{2}dt

Adesso portare a termine il calcolo è semplice. Poi ricordati di riportare tutto in x.

Integrale di sqrt(1-kx^2) #65058

avt
Omega
Amministratore
Ciao Momo95 emt

meglio capire il motivo di quella scelta, anche perché è di certo il miglior metodo per risolvere questo tipo di integrali.

Tutto ruota intorno all'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche), ed è tutto spiegato qui:



Nota solo che l'integrale ti viene dato nella forma

\int{\sqrt{1-kx^2}dx}\ \ \ \mbox{con }k>0

e che conviene riscriverlo come

\int{\sqrt{k\left(\frac{1}{k}-x^2\right)}dx}

da cui

\sqrt{k}\int{\sqrt{\frac{1}{k}-x^2}dx}

l'ho specificato in modo che tu possa partire già dalla classe di integrali trattata nella lezione

\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}

Integrale di sqrt(1-kx^2) #65065

avt
Momo95
Punto
Grazie mille, ho letto ora, chiarissimo! emt

Qualcuno saprebbe risolvermelo senza applicare quella sostituzione? Così, per curiosità emt

Integrale di sqrt(1-kx^2) #65066

avt
Omega
Amministratore
Il masochismo non rientra tra i miei principali hobby. emt

Semmai ha più senso che provi tu qualche metodo alternativo e che sia tu a farti un'idea del perché non funziona. emt
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Os