Trovare una funzione iniettiva dati dominio e immagine

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Trovare una funzione iniettiva dati dominio e immagine #64690

avt
Jennifer24
Cerchio
Ciao a tutti, ho un esercizio che mi chiede di trovare e rappresentare una funzione iniettiva avendone il dominio e l'immagine, in pratica deve soddisfare alcune condizioni che mi vengono elencate:

Dom(f)=\mathbb{R}^*-\{3\}

Im(f)=\mathbb{R}^*

f è iniettiva


Io non riesco a disegnarla perché non so come rappresentarla facendo sì che il dominio non comprenda 0 e 3. Cioè, dovrebbe essere spezzettata? emt

Vi ringrazio dell'aiuto, e se poteste rappresentarmela ve ne sarei veramente grata. emt
 
 

Trovare una funzione iniettiva dati dominio e immagine #64715

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Jennifer24,

Il tuo è un bel quesito che mi ha creato qualche grattacapo.

Andiamo alla ricerca di una funzione che ha per dominio

Dom(f)=\mathbb{R}^{*}-\left\{3\right\}=\mathbb{R}-\left\{0,3\right\}

mentre l'immagine della funzione è \mbox{Im}(f)=\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}-\left\{0\right\}.

Inoltre la funzione deve essere iniettiva.

Prima di procedere ti riporto il grafico della funzione:

grafico di funzione iniettiva


I punti in rosso in x=0 e in x=3 stanno a indicare che non appartengono al dominio della funzione. Essi non hanno immagine, chiaramente.

Il tratto in arancio è una semiretta: è la parte negativa della bisettrice del primo e terzo quadrante.

Il tratto in verde è la bisettrice del primo e terzo quadrante con 0<x<3.

C'è un piccolo problema, lasciamo fuori 3 così facendo 3\notin \mbox{Im}(f). Per recuperare tale valore costruiamo il primo segmento in azzurro che permetta di "riprendere" il punto perduto, ossia 3, ma per recuperare il tre (e per rispettare la definizione di funzione) ho dovuto tralasciare 5 (l'estremo più in alto del segmento azzurro), che però recupero con il secondo segmento azzurro chiaro (lo recupero con l'estremo più in basso).

Per recuperare il cinque perdo il 7, che recupero con il segmento successivo. Procedendo in questo modo fino all'infinito (qui è richiesto uno sforzo di immaginazione) riesco a prendere tutti i punti tralasciati, quindi la funzione è suriettiva in \mathbb{R}-\left\{0\right\}. Sull'iniettività non ci sono dubbi, lo puoi dimostrare con il metodo grafico: tracci delle parallele all'asse delle ascisse. Esse toccheranno il grafico in un solo punto.

La retta y=0 ovviamente non tocca il grafico in nessun punto, così come richiesto dalla traccia dell'esercizio.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Iusbe, Jennifer24
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Os