Integrale trigonometrico con primitiva logaritmica

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Integrale trigonometrico con primitiva logaritmica #64618

avt
BleakHeart
Frattale
Buonasera a tutti, stavo calcolando un integrale goniometrico che ha come primitiva un logaritmo:

\int -\frac{\sin(x)}{2\cos(x)-3}dx


Siccome la derivata del coseno è "meno seno", in questo integrale ho la possibilità di utilizzare la seguente regola di integrazione:

\int \frac{1}{f(x)}\cdot f'(x) dx= ln|f(x)|+c

Tornando al mio esercizio lo riscrivo nel seguente modo

\int \frac{-\sin(x)}{2\cos(x)-3} dx

Moltiplico e divido per due:

\frac{1}{2}\int \frac{-2\sin(x)}{2\cos(x)-3} dx

ed il risultato che mi viene è:

\frac{1}{2}\ln|2\cos(x)-3|+c

Il quale è diverso dal risultato del libro:

\frac{1}{2}\ln|3-2\cos(x)|+c

Qualcosa mi dice che l'errore è dovuto al segno meno...
Ringraziano: Iusbe
 
 

Integrale trigonometrico con primitiva logaritmica #64627

avt
Omega
Amministratore
Ciao BleakHeart emt

oggi sei stato vittima della buccia di banana. Vai tranquillo, capita anche ai migliori... emt

I due risultati sono equivalenti e i tuoi ragionamenti sono corretti. Osserva che, dati due numeri reali A,B\in\mathbb{R}

|A-B|=|B-A|\ \ \ (\bullet)

ciò è diretta conseguenza di una proprietà del valore assoluto, (omogeneità del valore assoluto)

\to\ \mbox{dati }c,M\in\mathbb{R}\mbox{ risulta che }|cM|=|c||M|

vale a dire: il valore assoluto del prodotto di due numeri reali è uguale al prodotto dei valori assoluti. Di conseguenza

|A-B|=|(-1)(B-A)|=|-1|\cdot |B-A|=(+1)\cdot |B-A|=|B-A|

e la proprietà (\bullet) è dimostrata. emt
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, BleakHeart, Iusbe

Integrale trigonometrico con primitiva logaritmica #64634

avt
BleakHeart
Frattale
Ah ecco.. vittima di un pessimo scherzo da parte dei valori assoluti...
Ringraziano: Omega
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Os