Rapporto incrementale del seno con formula di addizione

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Rapporto incrementale del seno con formula di addizione #64258

avt
Lorenzo13R
Punto
Ciao ragazzi, ho bisogno del vostro aiuto per calcolare il rapporto incrementale di una funzione trigonometrica usando la formula di addizione del seno. Grazie mille!

y = sin(2x+3)

nel punto x_0 = π.

L'esercizio guida mi suggerisce di usare la formula di addizione degli angoli (che conosco ma non sono in grado di applicarla a questo esercizio).

Attendo delucidazioni, grazie mille in anticipo.
 
 

Rapporto incrementale del seno con formula di addizione #64274

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lorenzo,

vogliamo calcolare il rapporto incrementale della funzione

f(x) = sin(2x+3)

nel punto x_0 = π. Applichiamo la definizione:

(Δ y)/(Δ x) = (f(x_0+h)-f(x_0))/(h) =

sostituiamo le valutazioni f(x_0+h), f(x_0) prendendo x_0 = π

= (f(π+h)-f(π))/(h) = (sin(2(π+h)+3)-sin(2π+3))/(h)


Ora abbiamo diversi modi per riscrivere e semplificare il numeratore.


1) Come suggerito dal testo dell'esercizio, usiamo le formule di addizione e sottrazione degli angoli e in particolare la formula del seno della somma

sin(2(π+h)+3) = sin(2(π+h))cos(3)+cos(2(π+h))sin(3) =

= sin(2π+2h)cos(3)+cos(2π+2h)sin(3) =

Qui possiamo applicare la formula per il seno della somma. Oppure possiamo farci furbi e risparmiare un passaggio: grazie alle formule per gli angoli associati passiamo a

= sin(2h)cos(3)+cos(2h)sin(3)

Per quanto riguarda il secondo termine a numeratore nel rapporto incrementale

sin(2π+3)

possiamo applicare la formula di addizione degli archi o le formule per gli angoli associati, tanto è lo stesso.

sin(2π+3) = sin(3)

In definitiva il rapporto incrementale risulta

(Δ y)/(Δ x) = (sin(2h)cos(3)+cos(2h)sin(3)-sin(3))/(h)

Volendo potremmo sviluppare ulteriormente il numeratore usando le formule di duplicazione, ma anche no, va bene così. emt


2) Metodo alternativo (lo propongo per completezza). Potremmo anche usare le formule di prostaferesi, che ci permette di trasformare la differenza di due seni in un singolo prodotto

 sin(2(π+h)+3)-sin(2π+3) = 2cos((2π+2h+3+2π+3)/(2))sin((2π+2h+3-2π-3)/(2))

da cui eseguendo i semplici calcoli

sin(2(π+h)+3)-sin(2π+3) = 2cos(2π+h+3)sin(h) =

e grazie alle formule per gli angoli associati

= 2cos(h+3)sin(h)

Possiamo concludere che il rapporto incrementale è

(Δ y)/(Δ x) = (2cos(h+3)sin(h))/(h)

Esercizio per il lettore: verificare l'equivalenza dei risultati ricavati con i metodi 1) e 2).
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby, Iusbe, Lorenzo13R, Teresacaccia
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