Integrale della potenza di una funzione #64129

avt
BleakHeart
Frattale
Buongiorno ragazzi, ultimamente mi sono ritrovato a studiarmi gli integrali, e avrei un dubbio riguardo alla formula per l'integrale delle potenze di funzioni.

In riferimento a questa tabella tabella degli intergrali notevoli (per la precisione nella parte destra di tale tabella).

Nella seguente formula

\int [f(x)]^{n}\cdot f'(x)dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c

Ciò che non mi è chiaro, è quel f'(x). Devo calcolarlo io, o è già presente nella funzione all'interno dell'integrale?
 
 

Integrale della potenza di una funzione #64133

avt
jimmypage1976
Frattale
Ciao deve essere presente o perlomeno farlo comparire con qualche trucco algebrico. Per esempio

\int \cos^3(x)\ \sin(x)dx

per avere la derivata del coseno manca il meno al seno

-\int \cos^3(x) (-\sin(x))dx

e poi procedi.
Ringraziano: BleakHeart

Integrale della potenza di una funzione #64147

avt
BleakHeart
Frattale
Grazie jimmypage1976 per la risposta, tuttavia il tuo esempio mi porta a chiedere: perché f'(x)=-sen(x) ? Non dovrebbe essere (?)

f'(x)=\frac{d}{dx}{cos^3(x)}

Integrale della potenza di una funzione #64149

avt
jimmypage1976
Frattale
No perché \cos(x) sarebbe la f(x), e -\sin(x) è la derivata della f(x).

Esempio:

\int \log^2(x)\ \left(\frac{1}{x}\right)dx = \frac{\log^3(x)}{3} +c

perché è f(x)=\log(x) e la sua derivata è \frac{1}{x}.

Tu consideri qualunque funzione a meno dell'esponente, se ad esempio vedi una funzione mostro elevata a qualcosa e accanto trovi una funzione che assomigli, a meno di qualche passaggio algebrico che puoi creare te, alla derivata di mostro, allora puoi applicare l'integrale immediato.

Integrale della potenza di una funzione #64158

avt
Omega
Amministratore
Ciao ragazzi emt

Vorrei aggiungere qualcosina, ma con il vostro previo consenso. Non vorrei accavallarmi e incasinare la discussione.

Integrale della potenza di una funzione #64161

avt
jimmypage1976
Frattale
ci mancherebbe , sei il padrone di casa.emt

Integrale della potenza di una funzione #64163

avt
BleakHeart
Frattale
Quoto jimmypage emt

Integrale della potenza di una funzione #64172

avt
Omega
Amministratore
Ok emt

\int [f(x)]^{n}\cdot f'(x)dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c

Tutto parte dalla definizione di primitiva di una funzione, in modo molto grezzo dal significato di integrale indefinito come antiderivata.

Prendiamo la funzione y=(f(x))^n e calcoliamone la derivata. Dobbiamo usare il teorema di derivazione della funzione composta

\frac{d}{dx}\left[(f(x))^n\right]=n(f(x))^{n-1}\cdot f'(x)

dove il primo fattore è figlio della regola per la derivata di una potenza.

Quando deriviamo "perdiamo un esponente".

Di contro, quando integriamo guadagniamo una potenza.

Ora riconsideriamo l'integrale

\int [f(x)]^{n}\cdot f'(x)dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c

la domanda posta da BleakHeart

Ciò che non mi è chiaro, è quel f'(x). Devo calcolarlo io, o è già presente nella funzione all'interno dell'integrale?

dipende. emt

L'uguaglianza espressa dalla formula è un dato di fatto: per far sì che la famiglia di primitive sia quella del membro di destra, deve anche essere presente il fattore f'(x).

La giustificazione a posteriori risiede nell'osservazione iniziale sul teorema di derivazione della funzione composta.

Tieni bene a mente che in un integrale puoi modificare l'integranda a tuo piacimento, a patto di effettuare operazioni che preservano l'uguaglianza. Ciò vuol dire che puoi ad esempio moltiplicare e dividere l'integranda per una stessa quantità (moltiplicare per 1) e puoi sommare e sottrarre una stessa quantità (sommare zero). Tali quantità possono essere costanti o funzioni. Ma se ti viene assegnato un integrale del tipo

\int [f(x)]^{n}dx

e f'(x) non è una costante, no way, non puoi applicare quella formula. Volendo potresti moltiplicare e dividere per f'(x)

\int [f(x)]^{n}\frac{f'(x)}{f'(x)}dx

e qui viene il bello: se f'(x) è un numero, ok, puoi portare fuori dall'integrale il denominatore. Se non è un numero, non puoi farlo e non puoi ricondurti alla formula.


Prendi ad esempio il caso standard: quello dell'integrale di una potenza di x.

\int x^{n}dx

qui la derivata della base è 1 e non devi fare nulla se non applicare la formula nella forma più semplice.

Ma se hai integrali come

\int \cos^3(x)dx

di sicuro non puoi applicare quella formula. Ti manca la derivata della base della potenza e non c'è modo di farla saltare fuori per applicare quella formula.

Se però l'integranda ha un fattore che si avvicina alla derivata della base, a meno di una costante moltiplicativa

\int \cos^3(x)\ \sin(x)dx

possiamo aggiustare le cose. Manca giusto un segno meno

f(x)=\cos(x),\ \to\ f'(x)=-\sin(x)

quindi grazie ad una nota proprietà degli integrali

\int \cos^3(x)\ \sin(x)dx=-\int \cos^3(x)\ [-\sin(x)]dx=(\bullet)

abbiamo proprio la struttura richiesta dalla formula

\int [f(x)]^{n}\cdot f'(x)dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c

e possiamo applicarla

(\bullet)=\frac{\cos^4(x)}{4}+c

questo è proprio il concetto espresso da Jimmy nel messaggio #64149: la derivata della base, non dell'intera potenza. emt


Altro esempio

\int \log^2(x)\cdot \frac{1}{x}\ dx

qui capiamo subito che possiamo applicare la formula di cui sopra. Abbiamo già la derivata della funzione che è la base della potenza.

\int \log^2(x)\cdot \frac{1}{x}\ dx = \frac{\log^3(x)}{3} +c

Invece se avessimo

\int \log^2(x)dx

niente da fare, bisogna cambiare strategia.


In definitiva abbiamo quattro possibili casi in raffronto alla formula di cui stiamo parlando:

1- ho già la derivata f'(x) che moltiplica la potenza [f(x)]^n. Bene, applico direttamente la formula.

2- Non ho la derivata f'(x) e non posso farla saltar fuori. Amen, cambio metodo.

3- Non ho la derivata f'(x) che però sarebbe una costante. La faccio saltar fuori con un moltiplica e dividi e poi porto il denominatore (costante) fuori dall'integrale. Quindi applico la formula.

4- Oltre a [f(x)]^n, o qualcosa che assomiglia alla derivata f'(x) a meno di una costante moltiplicativa e posso ricondurmici mediante un trucco algebrico. Moltiplico e divido per la costante, come abbiamo fatto nell'esempio con \cos^3(x)\cdot \sin(x).
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, BleakHeart
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